Berechnung des Stromkreislaufes

Zuletzt geändert: 2. Mai 2020
Geschätzte Lesezeit: 30 min

Vorbemerkung

Das ist bei wei­tem die schwie­rigs­te Ent­schei­dung. Alles hängt ja irgend­wie von­ein­an­der ab. Die Aus­wahl der Moto­ren legt die Motor­reg­ler und die Wahl der Akkus fest. Die Leis­tung der Moto­ren ist aber abhän­gig von dem Gewicht das wir in die Luft bewe­gen wol­len… wir wis­sen aber noch gar nicht wie schwer unser Cop­ter wird. Die Pro­pel­ler hän­gen ja auch mit den Moto­ren und dem zu hie­ven­den Gewicht zusam­men. Um die Grö­ße und damit auch das Gewicht des Cop­ters fest­zu­le­gen müs­sen wir wis­sen was wir alles dar­auf befes­ti­gen müs­sen. Also brau­chen wir auch Motor und Reg­ler, Emp­fän­ger, etc… irgend­wie dre­hen wir uns im Kreis und fin­den kei­nen Anfang. 

Was pas­siert denn hier eigent­lich? Im Grun­de trei­ben wir Moto­ren mit elek­tri­scher Ener­gie aus Akkus an und ver­su­chen so die dar­an befes­tig­te Kon­struk­ti­on in die Luft zu heben. Die elek­tri­sche Ener­gie wird durch den Motor in mecha­ni­sche Ener­gie, genau­er in eine Rota­ti­ons­be­we­gung / Dreh­mo­ment umgewandelt. 

Die Grund­la­ge dafür ist die Lorentz-Kraft:

Wird ein Lei­ter inner­halb eines Magnet­fel­des von einem Strom durch­flos­sen, so ergibt sich eine Kraft­wir­kung auf den Leiter. 

Die­ser Rota­ti­on wan­deln wir mit Hil­fe der Pro­pel­ler in mecha­ni­sche Bewe­gungs­en­er­gie (Auf­trieb und Vor­trieb) um, in dem wir Luft bewe­gen, und schon flie­gen wir. So ein Mul­ti­co­p­ter ist also im Grun­de ein gro­ßer Ener­gie­wand­ler. Jetzt gilt es all das so zu dimen­sio­nie­ren das mög­lichst viel die­ser elek­tri­schen Ener­gie in Bewe­gung umge­wan­delt wird.  Akku, Stel­ler, Motor und Pro­pel­ler und sogar die Lei­tun­gen und Ste­cker die alles mit­ein­an­der ver­bin­den spie­len auf­grund der hohen Strö­me eine Rol­le dabei und müs­sen pas­send dimen­sio­niert werden. 

Stromkreislauf und Energiewandlung


Um zu ver­ste­hen wie das funk­tio­niert und zusam­men­hängt schau­en wir uns an Bes­ten die ein­zel­nen Kom­po­nen­ten mal an, und ver­su­chen ein mathe­ma­ti­sches Modell zu erstel­len. Die­ser Arti­kel hat  in den let­zen Mona­ten erheb­lich an Umfang zuge­legt und du soll­test viel Geduld mit­brin­gen. Für Tips, Ver­bes­se­rungs­vor­schlä­ge und Ergän­zun­gen sind wir immens dankbar. 

Du soll­test einen Taschen­rech­ner bereit­le­gen um die Rech­nun­gen nach­voll­zie­hen zu kön­nen. Außer­dem kannst du dir hier die Berech­nun­gen der Tabel­len in Form einer Tabel­len­kal­ku­la­ti­on (Open-Office, Open-Docu­ment For­mat) herunterladen: 

Tabellenblatt zur Berechnung des Stromkreislaufs

Wie immer ist alles WIP. Wir über­neh­men selbst­re­dend kei­ne Gewähr für Feh­ler­frei­heit und Voll­stän­dig­keit, und schlie­ßen jede Haf­tung aus. Die Benut­zung erfolgt auf eige­ne Gefahr! 

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 Release History

  • 2014-12-24 — Ver­si­on 0.2.0 — Kor­rek­tur Tabel­le 8–4 bis 8–7, Pro­pel­ler B. Bei der Berech­nung des Stro­mes wur­de auf die fal­sche Spal­te Leis­tung referenziert.
  • 2014-12-19 — Ver­si­on 0.1.0 — Akku, Pro­pel­ler, Span­nung / Pro­pel­ler / Lauf­zeit, Wirkungsgrad

Beach­te dabei auch den Haf­tungs­aus­schluss. Das Doku­ment ist nicht fer­tig, son­dern wird wei­ter ver­bes­sert und ergänzt. Wei­te­re Doku­men­te fin­dest du auf unse­rer Sei­te Down­loads.

Der einfache Stromkreislauf

Betrach­ten wir mal ein ein­fa­ches Model des Strom­kreis­laufs. Wir haben eine Span­nungs­quel­le in Form eines Akkus, und einen Ver­brau­cher in Form eines Elek­tro-Motors — bei­de sind über iso­lier­te Kup­fer­lei­tun­gen mit­ein­an­der verbunden. 

einfacher Stromkreislauf

Die Spannungsquelle — Der Akku

Als Span­nungs­quel­le ver­wen­den wir Lipo Akkus. Die Akkus sol­len die benö­tig­te elek­tri­sche Leis­tung lie­fern:

(1)   \begin{equation*} P =\(U \cdot I \)  \end{equation*}

Glei­chung beschrei­be ich immer so:
For­mel­zei­chen — Bezeich­nung in Ein­heit [ Ein­heit in Kurzschreibweise ] 

U – die Span­nung in Volt [ V ]
I – der Strom in Ampere [ A ]
P – die Leis­tung in Watt [ W ] 

und — mul­ti­pli­ziert mit der Motor-Lauf­zeit — für die benö­tig­te elek­tri­sche Ener­gie sorgen: 

(2)   \begin{equation*} W =\(P \cdot t \)  \end{equation*}

P – die Leis­tung in Watt [ W ]
t – die Zeit in Stun­den [ h ]
W — die Ener­gie in Watt­stun­den [ Wh ] 

Die Glei­chun­gen schau­en wir uns spä­ter noch genau an. 

Das Gewicht des Akkus macht einen gro­ßen Teil des Gesamt­ge­wich­tes aus. Ist er zu groß wird der Mul­ti­co­p­ter zu schwer, ist er zu klein stimmt die Flug­leis­tung nicht. Um wei­ter zu kom­men schau­en wir uns erst­mal ein paar Begrif­fe an: 

elektrische Spannung

U – Span­nung in Volt [ V ] 

Wenn man zur elek­tri­schen Span­nung Poten­ti­al sagt wird deut­li­cher was es ist: Es ist der Unter­schied zwi­schen zwei Polen. Wir könn­ten einen Akku zum Bei­spiel anschau­lich als zwei Gewäs­ser betrach­ten. Das eine auf einem Berg liegt höher als das ande­re im Tal. Die Span­nung ent­steht auf­grund des Poten­ti­al­un­ter­schie­des. Es ist die Kraft die das Was­ser aus den höher gele­ge­nen Gewäs­ser in das tie­fer gele­ge­ne Flie­ßen lässt, sobald man die Mög­lich­keit dazu ein­räumt. Der Was­ser­fall oder das Fluss­bett ist dann die Leitung. 

Die Span­nung des Akkus ist nicht für alle Zei­ten kon­stant. Sie sinkt im Ver­lauf des Betriebs ab da er ent­la­den wird. Wir soll­ten den Akku nie soweit ent­la­den das die Ent­la­de­schluss­span­nung von 3V pro Zel­le (für LiPos) erreicht bzw. unter­schrit­ten wird, denn dann lau­fen im inne­ren des Akkus che­mi­sche Pro­zes­se ab die ihn zerstören. 

Die Höhe der Span­nung wird durch die Zahl der ZELLEN eines Akkus bestimmt. Eine LiPo-Zel­le hat eine Nenn­span­nung von 3,7V. Die­se Span­nung wird auch unter Belas­tung bei gela­de­ner Zel­le gehalten. 

elektrischer Strom

I – Strom in Ampere [ A ] 

Bil­den wir einen geschlos­se­nen Strom­kreis­lauf mit einer Quel­le (Akku) und einem Ver­brau­cher (zB. Motor), dann beginnt ein elek­tri­scher Strom zu flie­ßen. Der Strom gibt letz­ten­en­des an wie vie­le Elek­tro­nen durch das Kabel fließen. 

Wenn wir unse­ren Mul­ti­co­p­ter betrei­ben, müs­sen also ent­spre­chend vie­le Elek­tro­nen aus dem Akku zu den Moto­ren flie­ßen. Muss der Motor viel arbei­ten, wird er mehr Strom benötigen. 

Wir könn­ten auch die Span­nung erhö­hen, aber die ist mit der Anzahl der Zel­len unse­res Akkus beim Ent­wurf des Cop­ters fest­ge­legt wor­den fix, also Regeln wir die Ent­nah­me des Stroms über die Regler. 

Über den Reg­ler bestim­men wir also vie­viel Strom der Motor aus dem Akku zie­hen darf. Mit zuneh­men­der Ent­la­dung senkt sich die Span­nung des Akkus. 

Hohe Strö­me sind unhand­lich da sie gros­se Kabel­quer­schnit­te erfor­dern. Die Elek­tro­nik ist schwe­rer zu bau­en und Kom­po­nen­ten die den Strom ver­ar­bei­ten müs­sen unter Umstän­den gekühlt wer­den. Des­halb haben grö­ße­re Mul­tiko­p­ter mehr Zel­len um den Strom zu sen­ken und trotz­dem mehr Leis­tung abge­ben zu kön­nen (P=U*I – Leis­tung ist Span­nung mal Strom). 

Akkukapazität, Flugzeit

Die Kapa­zi­tät ist ein Wert der bei jedem Akku ange­ge­ben wird, und mit dem sich eini­ges Berech­nen lässt. Jede Zel­le hat nur eine bestimm­te Kapa­zi­tät, und kann nur eine bestimm­te Men­ge Strom lie­fern was als Kapa­zi­tät oder Strom­men­ge in Ah aus­ge­drückt wird. 

Kapa­zi­tät = Strom * Zeit 

(3)   \begin{equation*} Q =\(I \cdot t \)  \end{equation*}

I – der Strom in Amper [ A ]
t – die Zeit in Sekun­den [ s ]
Q – die Kapa­zi­tät in Ampere­stu­den [ Ah ] 

Die Akku­ka­pa­zi­tät gibt also an wie lan­ge ein bestimm­ter Strom aus dem Akku ent­nom­men wer­den kann. Die Kapa­zi­tät Q wird in Ampere­stun­den (Ah) oder Mil­li­am­pere­stun­den (mAh) angegeben. 

Neh­men wir mal an unse­re Ener­gie­zel­le könn­te 1 Amper­stun­de lie­fern, das bedeu­tet 1A pro Stun­de oder kurz 1 Ah. Wenn wir mehr als 1 Ampere ent­neh­men, dann geht die Ener­gie eher zur Nei­ge, das heißt die Lauf­zeit ver­kürzt sich. 

Wenn ich die Glei­chung umstel­le kann ich grob die Lauf­zeit berechnen: 

(4)   \begin{equation*} t =\( \frac{Q}{I} \)  \end{equation*}

Die Ein­heit von Q ist Ah. Die Ein­heit von I ist A. Da ich in Minu­ten rech­nen will schrei­be ich für 1h = 60 min. 

(5)   \begin{equation*} Laufzeit =\( \frac{Q \cdot 60}{I} \)  \end{equation*}

Bei­spiel: Q = 2500mAh bedeu­tet das der Akku eine Stun­de lang 2500mA bzw. 2,5 A abge­ben kann bis er leer ist. Wir ent­neh­men dem Akku aber wesent­lich höhe­re Strö­me, zum Bei­spiel 25A. Mit Glei­chung (4) ergibt sich für Q = 2500mAh = 2,5 Ah und I = 25 A: 

    \begin{equation*} t=\(\frac{Q}{I}\) = \(\frac{2,5Ah}{25A}\) = 0,1h = \(0,1h \cdot 60 Min\) = 6 Min \label{eq:Akku-Laufzeit-Beispiel} \end{equation}

Da der Strom 10x so hoch ist wie die Kapa­zi­tät, kön­nen wir auch nur noch 1/10 von einer Std. Strom ent­neh­men, was einer Flug­zeit von 6min entspricht. 

Wir kön­nen meh­re­re Zel­len in Rei­he geschal­tet um die Span­nung zu erhö­hen, und wir stel­len fest: Die Kapa­zi­tät ändert sich dadurch nicht. 

Capacity Rate, C‑Rate

Die Capa­ci­ty Rate bzw. C‑Rate gibt an wie hoch der Strom maxi­mal sein darf der aus dem Akku ent­nom­men wird ohne das der sich stark aufheizt. 

(6)   \begin{equation*} I_{max} =\(C \cdot Q \)  \end{equation*}

C – die C‑Rate [ 1/h ]
Q – die Kapa­zi­tät in Ampere­stu­den [ Ah ]
I – der Strom in Amper [ A ] 

Damit kön­nen wir den maxi­ma­len Strom Berech­nen den wir dem Akku ent­neh­men dürfen. 

Unter der 1 C‑Rate ver­steht man den Strom, der zu einer 1‑stündigen Ent­la­dung gehört. 

Bei einem Akku mit einer C‑Rate von 20 darf maxi­mal die 20 fache Kapa­zi­tät an Strom ent­nom­men wer­den. Bei einer Kapa­zi­tät von 2100mAh=2,1Ah also ein maxi­ma­ler Strom von 2,1Ah * 20/h = 42A. 

Falls sich ein Akku im Betrieb zu stark erwärmt soll­te man einen mit einer höhe­ren C‑Rate wählen. 

Bei­spiel: C = 2500mAh = 2.5 Ah, 1 C‑Rate = 2.5 A 

Der Akku kann eine Stun­de lang einen Strom von 2.5 A abgeben. 

4C -> 4/h * 2.5Ah = 10A
10C -> 10/h * 2.5Ah = 25A 

Die auf einem Akku ange­ge­be­ne Kapa­zi­tät gilt immer nur für die Ent­la­dung mit der 1 C‑Rate. In Flug ent­neh­men wir aber mehr Strom, sodas die Kapa­zi­tät sinkt? (wei­ter unten erklärt) 

Akkus sind Mas­sen­pro­duk­te die Seri­en­streu­un­gen auf­wei­sen, das bedeu­tet sie ver­fü­gen häu­fig über mehr oder weni­ger Kapa­zi­tät als auf­ge­druckt. Auch die C‑Raten sind oft mehr Wunsch­den­ken der Her­stel­ler. Erwischt man ein schlech­tes Exem­plar nimmt die Kapa­zi­tät schnel­ler ab als erwünscht. 

Akkukonfiguration

Die Akku­kon­fi­gu­ra­ti­on gibt an wie vie­le Akku­zel­len in wel­cher Art ver­schal­tet sind: 

Akkuconfiguration

Eine ein­zel­ne LiPo-Zel­le hat eine Nenn­span­nung von Uz = 3,7 V, schal­tet man sie in Rei­he / Serie erhöht sich die Spannung. 

(7)   \begin{equation*} xs =\(x \cdot U_{z} \)  \end{equation*}

x – Anzahl der Zel­len [ ]
s — Kenn­zei­chen für Serie
Uz – Nenn­span­nung einer Zel­le in Volt [ V ] 

Bei­spiel: 3s = 3 * Uz = 3 * 3,7V = 11,1V.

Schal­tet man sie par­al­lel (Kenn­zei­chen p — nicht zu ver­wech­seln mit der Leis­tung) erhöht sich die Kapa­zi­tät, und damit ergibt sich ein höhe­rer maxi­ma­ler Strom, bei glei­cher Span­nung und C‑Rate.

(8)   \begin{equation*} Q_{ges} =\(Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} + \ldots \)  \end{equation*}

Bei­spiel: Qges = 2500mAh + 2500mAh = 5000mAh

    \begin{equation*} Q_{ges} =\(2500mA + 2500mA = 5000mA \) \label{eq:Q-Summe-Beispiel} \end{equation}

Aus Glei­chung  (6) Imax=C*Q folgt für eine C‑Rate von10/h:

(9)   \begin{equation*} I_{max} =\(C \cdot Q \) = \(\frac{10}{h} \cdot 5 Ah \) = 50 A   \end{equation*}

Die Anzahl der Ein­zel­zel­len für eine Kon­fi­gu­ra­ti­on ergibt sich aus der Mul­ti­pli­ka­ti­on von s und p. 

(10)   \begin{equation*} Anzahl der Zellen  =\( xS \cdot yP  \)  \end{equation*}

6s2p bedeu­tet also 6 Zel­len in Rei­he und 2 Zel­len par­al­lel: 6*2 = 12 Zellen. 

Meis­tens kauft man sich die Akkus schon fer­tig kon­fek­tio­niert, und lötet nicht sel­ber ein­zel­ne Zel­len zusam­men. Es kann aller­dings sinn­voll sein meh­re­re sol­cher vor­kon­fek­tio­nier­ten Akkus par­al­lel zu schalten. 

Innenwiderstand; Das Ohmsche Gesetz

Jeder Akku hat auch einen Innen­wi­der­stand. Einen rea­len Akku kön­nen wir uns als idea­le Span­nungs­quel­le vor­stel­len die eine kon­stan­te Span­nung lie­fert und die mit einem ohm­schen Wider­stand in Rei­he geschal­tet ist. Wir kön­nen auch jede ein­zel­ne Lipo-Zel­le als eine sol­che Ein­heit betrachten. 

reale Spannungsquelle

Das ohm­sche Gesetz besagt: 

(11)   \begin{equation*} U =\(R \cdot I \)  \end{equation*}

I – der Strom in Ampere [ A ]
R – der Wider­stand in Ohm bzw. … [ Ohm ]
U – die Span­nung in Volt [ V ] 

Die Span­nung an den Klem­men berech­net sich aus der Dif­fe­renz der Quel­len­span­nung unse­rer idea­len Span­nungs­quel­le ver­min­dert um den Span­nungs­ab­fall am Innenwiderstand: 

(12)   \begin{equation*} U =\(U_0 - U_{Ri} \)  \end{equation*}

mit Glei­chung (11) kön­nen wir für den Span­nungs­ab­fall am Innen­wi­der­stand schrei­ben Uri = I*Ri

(13)   \begin{equation*} U =\(U_0 - I \cdot R_i  \)  \end{equation*}

Die­ser Innen­wi­der­stand sorgt dafür das die Span­nung an den Klem­men nicht kon­stant ist. Je grö­ßer der Strom ist den wir ent­neh­men des­to mehr sinkt die Span­nung an den Klem­men da der Span­nungs­ab­fall am Innen­wi­der­stand grös­ser wird. 

Auf die­sen Umstand kom­men wir spä­ter beim Motor noch zurück. 

Momen­tan betrach­ten wir unse­re Span­nungs­quel­le als Ide­al — das bedeu­tet mit einem Ri von 0 Ohm. 

Energiemenge in Wattstunden

Eine Watt­stun­de (Wh) ist eine Ein­heit die beschreibt wie viel Leis­tung ins­ge­samt über einen bestimm­ten Zeit­raum ver­füg­bar ist. 

(14)   \begin{equation*} W =\(P \cdot t  \)  \end{equation*}

P – die Leis­tung in Watt [ W ]
t – die Zeit in Stun­den [ h ]
W – die Ener­gie in Watt­stun­den [ Wh ] 

mit Glei­chung (1) P = U * I kön­nen wir W = U * I * t schrei­ben, und da wir aus Glei­chung (3) wis­sen das Q = I * t ist folgt daraus: 

(15)   \begin{equation*} W =\(Q \cdot U  \)  \end{equation*}

Q – die Kapa­zi­tät in Amper­stun­den [ Ah ]
U – die Span­nung in Volt [ V ]
W – die Ener­gie in Watt­stun­den [ Wh ] 

W wird als elek­tri­sche Arbeit bezeich­net. Die Ener­gie­men­ge in unse­rer Zel­le steigt mit der Kapa­zi­tät und der Span­nung, damit steigt aber auch das Gewicht, die Grös­se und nicht zuletzt der Preis. 

Wenn wir Akku-Zel­len hin­ter­ein­an­der schal­ten addie­ren wir Wattstunden. 

Vor­ga­be­wer­te
Spal­te 1: Anzahl der Zel­len n
Spal­te 3: Q 

Berech­ne­te Wer­te:
Spal­te 2: U = n * Zel­len­span­nung = n * Uz = n * 3,7V
Spal­te 4: W = Q * U 

Anzahl der Zel­lenSpan­nung U in VKapa­zi­tät Q in AhArbeit W in Wh
13.725009250
27.4250018500
31.1250027750
414.8250037000

Tabelle 8–1: Spannung und Kapazität bei Reihenschaltung

Wir sind ja für unser Bei­spiel von einer Zel­le mit 3,7 Volt aus­ge­gan­gen, die wir in Serie hin­ter­ein­an­der schal­ten. Die Watt­stun­den kön­nen wir auf zwei Wegen erhö­hen. Indem wir die Span­nung der Zel­le erhö­hen, oder in dem wir die Kapa­zi­tät die­ser Zel­le erhöhen. 

Brushless Motoren

Wer­fen wir einen Blick auf die Moto­ren. Zum Ein­satz kom­men Brush­less-Moto­ren, das bedeu­tet Gleich­strom­mo­to­ren ohne Bürs­ten. Die­se Art von Moto­ren weißt eini­ge Beson­der­hei­ten auf die man wis­sen soll­te um zu ver­ste­hen wie der Strom­kreis­lauf funktioniert. 

Brush­less Moto­ren sind für eine ganz bestimm­te Dreh­zahl gebaut, und die­se — so genann­te spe­zi­fi­sche Dreh­zahl Kv, ver­su­chen sie um jeden Preis zu errei­chen sobald man sie an eine Strom­quel­le hängt, und sie neh­men kei­ne Rück­sicht dar­auf ob sie sich sel­ber oder ande­re (die Strom­quel­le) dabei überlasten. 

Um eine Über­las­tung zu ver­mei­den muss man einen geeig­ne­ten Pro­pel­ler, und eine geeig­ne­te Strom­quel­le wäh­len. Ein Reg­ler fun­giert als Gehirn des Motors und schützt ihn vor sich selber. 

Befes­ti­gen wir an den Moto­ren Pro­pel­ler müs­sen sie arbei­ten indem sie Luft bewe­gen. Ein zu klei­ner Pro­pel­ler ist zwar nicht schlimm, aber der Motor hat (gemes­sen an sei­nem eige­nen Gewicht) zu wenig zu tun. Ein klei­ne­rer, und damit leich­ter Motor könn­te die Arbeit auch leis­ten, es ist schlicht Ener­gie­ver­schwen­dung. Sind die Pro­pel­ler zu groß über­for­dert das die Moto­ren. Es ist also wich­tig die Pro­pel­ler so zu wäh­len das der Motor gefor­dert, aber nicht über­for­dert wird. Die­sen opti­ma­len Arbeits­be­reich nennt man Leistungsanpassung. 

    \begin{equation*} mechanische Leistung =\( Drehzahl \cdot Drehmoment \) \label{eq:Leistung-PNM-text} \end{equation}

(16)   \begin{equation*} P =\(n \cdot M  \)  \end{equation*}

n – Umdre­hun­gen in Umdre­hun­gen pro Minu­te [ rpm ]
M – das Dreh­mo­ment in . [ … ]
P – die Leis­tung in Watt [ W ] 

Die elek­tri­sche Leis­tung berech­net sich laut Glei­chung (1)  aus Span­nung mul­ti­pli­ziert mit Strom: P = U * I 

Das ist eine span­nen­de Stel­le in unse­rer Betrach­tung, denn hier stel­len wir den Zusam­men­hang zwi­schen elek­tri­scher Leis­tung und mecha­ni­scher Leis­tung her. Glei­chung (16) und (1) gegen­über gestellt: 

    \begin{equation*} elektrische Leistung =\( mechanische Leistung \) \label{eq:PUIgleichMN-text} \end{equation}

(17)   \begin{equation*} P  =\(U \cdot I = n \cdot M  \)  \end{equation*}

Die Span­nung gibt die Dreh­zahl vor, und der Strom das Dreh­mo­ment. Im Ide­al­fall wird die gesam­te elek­tri­sche Leis­tung in mecha­ni­sche Leis­tung umge­setzt. Lei­der ist die Welt aber nicht so, wie wir spä­ter beim Wir­kungs­grad noch sehen wer­den.

Hier wird auch fol­gen­des deut­lich: Eine bestimm­te Leis­tung erhal­ten wir ent­we­der über eine hohe Dreh­zahl oder über ein hohes  Dreh­mo­ment… und:  Wir bekom­men ent­we­der ein hohes Dreh­mo­ment oder eine hohe Dreh­zahl, aber nie­mals beides. 

Der Strom kommt aus unse­rem LiPo Akku Akku, und ist damit begrenzt. Ein hoher Strom ent­lädt unse­ren Akku schnel­ler, und zieht die Span­nung an den Anschlüs­sen her­un­ter da am Innen­wi­der­stand des Akkus ein nen­nens­wer­ter Span­nungs­ab­fall entsteht. 

(TODO Unter­schie­de Aus­sen­läu­fer, Innen­läu­fer. Aus­sen­läu­fer haben weni­ger Kv als Innen­läu­fer, dafür mehr Drehmoment). 

Brush­less-Moto­ren sind nur für einen Kurz­zeit­be­trieb aus­ge­legt. Sie haben drei Anschlüs­se für das Dreh­feld — Bürs­ten­mo­to­ren haben nur zwei. Es gibt sie mit Sen­sor, und Sen­sor­less. Moto­ren mit Sen­sor sind teu­er und machen Sinn wenn man sie bei nied­ri­ger Dreh­zahl betrei­ben will. Der Sen­sor über­mit­telt Daten (Posi­ti­on des Rotors, Tem­pe­ra­tur) an den Reg­ler. Bei Moto­ren ohne Sen­sor hört man bei gerin­ger Dreh­zahl oft ein Pfei­fen des Motors, und nimmt ein ruckeln wahr. Moto­ren mit Sen­sor zei­gen die­ses Ver­hal­ten bei nied­ri­gen Dreh­zah­len nicht. Das liegt dar­an das die Posi­ti­on des Rotors im Dreh­feld mit einem Sen­sor genau­er ermit­telt wer­den kann als ohne Sensor. 

Drehzahlkonstante Kv und Spannung

Bei Moto­ren ste­hen meist so Anga­ben in  Kv. Das K steht für Kon­stan­te und das v für Volt. Es gibt Moto­ren mit unter­schied­li­chen Kv Werten. 

Ein Motor mit 1000 Kv macht 1000 Umdre­hun­gen pro Volt. Das bedeu­tet für jedes Volt Span­nung das ange­legt wird dreht sich der Motor um 1000 Umdre­hun­gen pro Minu­te schnel­ler (RPM bedeu­tet Rounds per Minu­te). Für unse­ren Motor schaut das so aus: 

1V -> 1000 u/min ,
2V -> 2000 u/min, und so weiter. 

Der mathe­ma­ti­sche Zusam­men­hang ist 

(18)   \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot U  \)  \end{equation*}

Kv – die Dreh­zahl­kon­stan­te in Umdre­hun­gen pro Volt [ n/V ] ??
U – die Span­nung in Volt [ V ]
RPM – Anzahl der Umdre­hun­gen pro Minu­te [ rpm ] 

Der Zusam­men­hang zwi­schen der Umdre­hungs­zahl des Motors und der ange­leg­ten Span­nung ist äqui­va­lent. Wenn ich einen 1000 Kv Motor vor mir sehe der sich mit 6000 RPM dreht kann ich davon aus­ge­hen das 6 Volt Span­nung anlie­gen. Mit Glei­chung (16)   kann ich die Span­nung aus­rech­nen die ich für eine bestimm­te Dreh­zahl benötige: 

V = RPM / Kv  ->  6000 / 1000 = 6 V. 

Neh­men wir uns noch­mal Glei­chung (18)   her und betrach­ten kurz zwei Moto­ren mit unter­schied­li­chen Kv — Bei­spiels­wei­se 500 und 1000 — die wir bei glei­cher Dreh­zahl betrei­ben wollen: 

RPM = Kv * U
RPM = 500 * 10 V = 5000 u/min
RPM = 1000 * 5 V = 5000 u/min

Um auf die sel­be Dreh­zahl zu kom­men wird in dem einen Fall 5 V benö­tigt, und in dem ande­ren Fall 10 V… das bedeu­tet ich müss­te in dem einen Fall 5 Zel­len mit 1 V in Rei­he schal­ten und in dem ande­ren Fall die dop­pel­te Men­ge, näm­lich 10 Zel­len je 1V. Auch hier sehen wir wie­der: Da unse­re Zel­len aber 3.7 Volt haben kön­nen wir die­se Wer­te gar nicht exakt einstellen. 

Weni­ger Kv bedeu­tet mehr Gewicht, aber auch län­ge­re Lauf­zeit (war­um?)

Erklä­rungs­ver­such ?? <wird über­ar­bei­tet>

Zurück zu unse­rem Bei­spiel: Wir benö­ti­gen eine Ener­gie­quel­le für unse­ren 1000 Kv Motor. Unse­re Lipo-Zel­len lie­fern 3,7 Volt, somit lässt sich die Dreh­zahl nur in gro­ben Schrit­ten einstellen: 

1000kV * 1 * 3,7V = 3700 rpm
1000kV * 2 * 3,7V = 7400 rpm
1000kV * 3 * 3,7V = 11.100 rpm
1000kV * 4 * 3,7V = 14.800 rpm 

Die Erhö­hung der Betriebs­span­nung eine sehr ein­fa­che Mög­lich­keit, die Leis­tung des Motors zu erhö­hen. Eine erhöh­te Leis­tung geht immer zulas­ten der Lebens­dau­er des Motors, im Extrem­fall kann der Motor durch Betrieb mit einer Leis­tung weit über sei­ner Nenn­leis­tung über­haupt defekt werden. 

Wir betrach­ten uns noch ein­mal Glei­chung  (17)   und set­zen für die Dreh­zahl n die Glei­chung  (18) ein:

    \begin{equation*}    \(U \cdot I = \(K_V \cdot U  \)  \cdot M  \)    \label{eq:U*I=Kv*U*M} \end{equation}

Wir kür­zen Die Span­nung U her­aus und erhal­ten damit: 

    \begin{equation*}    \(  I = \(K_V  \cdot M  \)    \label{eq:I=Kv*M} \end{equation}

Jetzt noch schnell nach dem Dreh­mo­ment auf­ge­löst, sehen wir den Zusam­men­hang zwi­schen dem Dreh­mo­ment, dem Strom und dem KV Wert: 

(19)   \begin{equation*}    \(  M = \(   \frac{I}{K_V}  \)     \end{equation*}

Das Dreh­mo­ment hängt direkt pro­por­tio­nal vom Strom ab: Ein gro­ßer Strom bewirkt ein gro­ßes Dreh­mo­ment. Das Dreh­mo­ment ist umge­kehrt pro­por­tio­nal zum KV Wert. Je klei­ner der KV Wert, des­to grö­ßer das Dreh­mo­ment, je grö­ßer der KV Wert des klei­ner das Drehmoment. 

Windungszahl / Turns

Bei man­chen Moto­ren wer­den die Turns ange­ge­ben. Turns sind die Anzahl der Windungen. 

Die­se Anga­be ist als gro­ber Anhalts­punkt für das Dreh­mo­ment zu verstehen: 

Je weni­ger Turns, des­to gerin­ger das Dreh­mo­ment, des­to grö­ßer die Dreh­zahl bzw. der KV Wert,  höher die Leis­tung, und der Strom­hun­ger des Motors (weni­ger Innen­wi­der­stand durch weni­ger Windungen). 

Je mehr Turns des­to grö­ßer das Dreh­mo­ment, des­to gerin­ger die Dreh­zahl bzw. Kv und so gerin­ger der Strom (grö­ße­rer Innen­wi­der­stand durch mehr Win­dun­gen). Vie­le Win­dun­gen machen das Magnet­feld stark, aber langsam. 

Genau rech­nen kann man mit die­ser Anga­be nicht! Dreh­mo­ment, Strom­auf­nah­me, Dreh­zahl  sind nicht nur von der Win­dungs­zahl abhän­gig. Moto­ren mit glei­cher Turn Zahl kön­nen trotz­dem unter­schied­li­che Drehzahlen/Drehmomente habe, denn es kommt auch dar­auf an  wie die Wick­lun­gen ver­schal­tet sind — Stern oder Drei­eck — oder wie lang oder dick der Rotor ist, das Magnet­ma­te­ri­al, die Kup­fer­qua­li­tät, Wick­lungs­dich­te, Wick­lungs­gü­te, den Luft­spalt, Rund­lauf, Draht­stär­ke, Pol­zahl, usw. 

Das bedeu­tet das zwei Moto­ren mit glei­chen Turn Anga­ben voll­kom­men unter­schied­lich sind und unter­schied­li­che Dreh­zah­len haben. Die Turn Anga­be eig­net sich nicht zum Ver­gleich von Moto­ren. Wich­ti­ger ist die Dreh­zahl. Einen ein­fa­chen Zusam­men­hang zwi­schen der Turn-Anga­be und dem KV Wert gibt es nicht. 

Wei­ter­füh­ren­de Links: 

Der Propeller

Unser Motor läuft bis jetzt noch im Leer­lauf. Wenn wir ihn mit einem Pro­pel­ler ver­se­hen kann er arbei­ten in dem er Luft bewegt, damit soll­ten wir am Ende den Motor mit samt Flug­kör­per in die Luft bekom­men. Beschrän­ken wir uns zunächst auf den Pro­pel­ler als “Mas­se”:

Ein Pro­pel­ler hat einen bestimm­ten Durch­mes­ser (dia­me­ter), und die Blät­ter haben einen bestimm­ten Anstell­win­kel oder auch Stei­gung genannt (pitch). Je grö­ßer der Anstell­win­kel umso grö­ßer die Stre­cke die sich der Pro­pel­ler mit jeder Umdre­hung nach oben schraubt. Das bedeu­tet für lang­sa­mes flie­gen einen Pro­pel­ler mit grö­ße­rem Durch­mes­ser und klei­ne­rer Stei­gung, und für schnel­les flie­gen einen Pro­pel­ler mit klei­ne­rem Durch­mes­ser und grö­ße­rer Stei­gung zu wäh­len. Die Anga­ben wer­den meist in Zoll gemacht, wobei 1 Zoll = 2.54cm ist. 

Bei­spie­le:
6x3 bedeu­tet 6 Zoll dia­me­ter x 3 Zoll pitch.
10×6 bedeu­tet 10 Zoll dia­me­ter x 6 Zoll pitch. 

…und so wei­ter. Es gibt ganz vie­le unter­schied­li­che Kom­bi­na­tio­nen, was es schwer macht den opti­ma­len Pro­pel­ler zu finden. 

Der Motor benö­tigt bei glei­cher Dreh­zahl mehr Ener­gie einen 10x6 Pro­bel­ler zu bewe­gen, als einen 6x3. 

Unge­fähr die glei­che Leis­tung ergibt sich wenn der Pro­pel­ler grö­ßer, und gleich­zei­tig die Stei­gung klei­ner gewählt wird, und umge­kehrt. Zum Bei­spiel 8x7, 9x6, 10x5. 

Was uns jetzt noch fehlt ist der Zusam­men­hang mit dem Strom

Propeller und Leistung

Wir müs­sen zwi­schen mecha­ni­scher Leis­tung und elek­tri­scher Leis­tung unter­schei­den. Die mecha­ni­sche Leis­tung an der Motor­wel­le ergibt sich aus Dreh­mo­ment mal Geschwin­dig­keit — Glei­chung (16) . Je höher das Dreh­mo­ment, des­to höher die Leis­tung, je höher die Geschwin­dig­keit (Dreh­zahl), des­to höher die Leis­tung. Das Ver­hält­nis von mecha­ni­scher zu elek­tri­scher Leis­tung nennt man dann Wir­kungs­grad. Dazu kom­men wir spä­ter. Wir inter­es­sie­ren uns jetzt erst­mal für die elek­tri­sche Leistung: 

Elek­tri­sche Leis­tung ist wie wir ja bereits aus Glei­chung (1)   wis­sen das Pro­dukt aus Span­nung und Strom, was sich mathe­ma­tisch so ausdrückt: 

P = U * I (Glei­chung (1) )

U – die Span­nung in Volt [ V ]
I – der Strom in Ampere [ A ]
P – die Leis­tung in Watt [ W ] 

Wer über eine bestimm­te Zeit etwas leis­tet, ver­rich­tet Arbeit. 

Jedem Pro­pel­ler setzt die Luft einen Wider­stand ent­ge­gen. Die­ser Wider­stand ist zum Bei­spiel nicht nur von Form und Grö­ße des Pro­pel­lers abhän­gig, son­dern auch von der Dich­te der Luft genannt Luft­druck. Um hier an belast­ba­re Wer­te zu kom­men müss­ten wir für jeden Pro­pel­ler Mess­rei­hen durchführen. 

Es ist nicht nur des­halb schwie­rig her­aus­zu­fin­den wie viel elek­tri­sche Leis­tung nötig ist um eine Motor / Pro­pel­ler Kom­bi­na­ti­on mit einer bestimm­ten Dreh­zahl dre­hen zu las­sen. Dabei spie­len neben dem Luft­druck noch vie­le ande­re kom­pli­zier­te Fak­to­ren eine Rol­le, wie zum Bei­spiel die Anzahl der Rotor­blät­ter, das ver­wen­de­te Mate­ri­al, das aero­dy­na­mi­sche Pro­fil des Blat­tes (air­foil) und sein Grundriss/Form (plan­form).

Die fol­gen­de Glei­chung stammt aus Bob Boucher’s Electric Motor Hand­book und passt ganz gut für Pro­pel­ler mit zwei Blät­tern (Deut­sche Bücher). Es gibt wohl bes­se­re und genaue­re Glei­chun­gen, aber die reicht für unse­re Zwe­cke

(20)   \begin{equation*} P  =\(K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot  RPM^3 \)  \end{equation*}

Kp – Pro­pel­ler­kon­stan­te in … [ … ] 

d – Durch­mes­ser des Pro­pel­lers in feet [ feet ]
s — Stei­gung des Pro­pel­lers in feet [ feet ]
RPM – Anzahl der Umdre­hun­gen pro Minu­te [ rpm ]
P – die Leis­tung in Watt [ W ] 

Die elek­tri­sche Leis­tung die benö­tigt wird um den Pro­pel­ler mit einer kon­stan­ten Geschwin­dig­keit zu dre­hen ist gleich der Pro­pel­ler­kon­stan­te mal dem Durch­mes­ser d des Pro­pel­lers (feet) hoch 4 mal der Stei­gung s (in feet) des Pro­pel­lers mal der Anzahl der Umdre­hun­gen (in tau­sen­dern) hoch 3. 

Die Pro­pel­ler­kon­stan­te Kp ist vom Her­stel­ler abhängig. 

Will man die For­mel benut­zen ist es erfor­der­lich den Durch­mes­ser und die Stei­gung des Pro­pel­lers in feet ein­zu­set­zen. Die Her­stel­ler geben aber die Maße in inch an. Die Umrech­nung ist aber per Drei­satz ein­fach umzusetzen: 

    \begin{equation*} 1 feet =\( 12 inch \) =\( 30,48 cm\) \label{eq:feet-in-inch-text} \end{equation}

(21)   \begin{equation*} x feet =\(\frac{y inch }{12} \)  \end{equation*}

Bei­spiel: Durch­mes­ser des Pro­pel­lers 6 inch. Das sind dann 6 inch / 12 = 0,5 feet. 

Wir müs­sen also alle Inch-Anga­ben der Her­stel­ler durch 12 tei­len bevor wir sie in Glei­chung (20) ein­set­zen. Damit ergibt sich, modi­fi­ziert auf Pro­pel­ler­pa­ra­me­ter in inch:

(22)   \begin{equation*} P  =\(K_p \cdot  \left(\frac{d}{12}\right)^4 \cdot \frac{s}{12}  \cdot  RPM^3 \)  \end{equation*}

Wenn wir schon mal dabei sind: Inch ist für mich auch reich­lich abs­trakt. Ich kann mir Anga­ben in Zen­ti­me­tern bes­ser vor­stel­len und nach­mes­sen, also rech­nen wir die Inch noch in Zen­ti­me­ter um: 

(23)   \begin{equation*} x cm =\(y inch \cdot \frac{30,48}{12} = y inch \cdot 2,54\)  \end{equation*}

Bei­spiel: Durch­mes­ser des Pro­pel­lers 6 inch. Das sind dann 6 inch *2,54 = 15,24 cm. 

Ein paar Din­ge kann man an Glei­chung (20) able­sen:

  • Eine Ver­dop­pe­lung des Durch­mes­sers, und der Motor benö­tigt bei glei­cher Dreh­zahl die 2^4 = 16 fache an Leis­tung um ihn in Bewe­gung zu versetzten.
  • Eine Ver­dop­pe­lung der Dreh­zahl benö­tigt die 2^3 = 8 fache Leistung.
  • Eine Ver­dop­pe­lung der Stei­gung benö­tigt dop­pelt soviel Leistung.

Den Strom direkt berech­nen mit Glei­chung (1) und Glei­chung (20) :

    \begin{equation*} P =\(U \cdot I \) \label{eq:P=U*I#2} \end{equation}

    \begin{equation*} P  =\(K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot  RPM^3 \) \label{eq:propeller-formel-2} \end{equation}

Durch gleich­setz­ten ergibt sich: 

    \begin{equation*}  \(U \cdot I \) =\(K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot  RPM^3 \) \label{eq:propeller-formel-3} \end{equation}

Nach dem Strom auf­lö­sen in dem bei­de Sei­ten durch U geteilt werden: 

    \begin{equation*} I =\( \frac{K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot  RPM^3}{U} \) \label{eq:propeller-formel-3} \end{equation}

durch Ein­set­zen von Glei­chung (18) :

    \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot U  \) \label{eq:RPM=Kv*U#1} \end{equation}

ergibt sich 

    \begin{equation*} I =\( \frac{K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot  \left( K_V \cdot U \right)^3}{U} \) \label{eq:propeller-formel-4} \end{equation}

    \begin{equation*} I =\( \frac{K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot K_V^3 \cdot U^3}{U} \) \label{eq:propeller-formel-5} \end{equation}

(24)   \begin{equation*} I =\( K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot K_V^3 \cdot U^2 \)  \end{equation*}

Glei­chung (24) sagt fol­gen­des: Der Strom steigt qua­dra­tisch zur Ein­gangs­span­nung, und mit der drit­ten Potenz des Kv Wer­tes. Das bedeu­tet der Kv Wert erhöht den Strom beträcht­lich. Ein hoher Kv Wert ist des­halb zu vermeiden. 

Eine mög­li­che Lösung wäre ein Getrie­be ein­zu­set­zen, um einen grö­ße­ren Pro­pel­ler mit weni­ger Motor­dreh­zahl bei glei­cher Leis­tung flot­ter zu dre­hen. Eine 2:1 Über­set­zung wür­de die Kv hal­bie­ren. Es spricht aber ne Men­ge dage­gen Getrie­be einzusetzen. 

Mit Glei­chung (20) und (24) kön­nen wir die Leis­tung berech­nen die eine Motor- / Pro­pel­ler­kom­bi­na­ti­on liefert: 

Vor­ga­be­wer­te:
Kv = 650
Kp = 1.11 (will­kür­lich gewählt) 

Pro­pel­ler / Dreh­zahl4000 rpm8000 rpm
6×3 Zoll1.11 W8.88 W
10×6 Zoll17.13 W137.04 W

Tabelle 8–2: Benötigte Leistung um unterschiedliche Propeller zu drehen…

Tabel­le 2 zeigt uns das mehr Leis­tung benö­tigt wird um einen grö­ße­ren Pro­pel­ler zu dre­hen. Je klei­ner der Pro­pel­ler des­to weni­ger Leis­tung wird benö­tigt. Wir benö­ti­gen zum Bei­spiel 17,13 Watt um den gro­ßen Pro­pel­ler mit 4000 RPM zu dre­hen. Die­se 17,13 Watt kön­nen wir auf unter­schied­li­che Art erzeu­gen, in dem wir belie­big Strom und Span­nung gemäß Glei­chung (1)   vari­ie­ren:

    \begin{equation*} P =\(U \cdot I \) \label{eq:P=U*I#3} \end{equation}

17,13 Watt = 1 * 3,7 Volt * 4,63 Ampere = 3,7 Volt * 4,63 Ampere.
17,13 Watt = 2 * 3,7 Volt * 2,34 Ampere = 7,4 Volt * 2,34 Ampere.
17,13 Watt = 3 * 3,7 Volt * 1,16 Ampere = 11,1 Volt * 1,16 Ampere. 

Da P kon­stant sein soll, und die Span­nung vor­ge­ge­ben wird berech­ne ich den Strom durch Umstel­lung der Glei­chung (1) :

An die­sem Bei­spiel zei­ge ich ein­ma­lig, exem­pla­risch und detail­liert wie man gene­rell Glei­chun­gen umstellt. Wir tei­len zunächst bei­de Sei­ten der Glei­chung durch U. 

    \begin{equation*} \frac{P}{U} =\(  \frac{U \cdot I}{U}  \) \label{eq:P=U*I#4a} \end{equation}

Auf der rech­ten Sei­te der Glei­chung kann U gekürzt werden. 

    \begin{equation*} \frac{P}{U} =\(  I  \) \label{eq:P=U*I#4b} \end{equation}

Anders her­um dargestellt: 

(25)   \begin{equation*} I =\( \frac{P}{U} \)  \end{equation*}

Leis­tung geteilt durch die Span­nung ergibt den Strom. Für unser Bei­spiel bedeu­tet das: 

    \begin{equation*} \frac{17,13 Watt}{ 3 Volt} =\(  5,71 Ampere  \) \label{eq:P=U*I#4c} \end{equation}

Unser Motor ver­langt also nach 5,71 Ampere Strom, den die Ener­gie­zel­le lie­fern kön­nen muss, und der Motor muss die­sen Strom aus­hal­ten kön­nen ohne zu heiß zu werden. 

Der Motor macht aller­dings ein paar Vor­ga­ben. Wenn wir einen 1000KV Motor zum Bei­spiel mit 3000 Umdre­hun­gen betrei­ben wol­len benö­ti­gen wir nach Glei­chung (18)  :

    \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot U  \) \label{eq:RPM=Kv*U#2} \end{equation}

    \begin{equation*} U  =\( \frac{RPM}{K_V}  \) =\( \frac{3000 rpm}{1000 Kv}  \) = 3 Volt  \label{eq:U=RPM/Kv} \end{equation}

Wie­der: Das Blö­de ist das wir die exak­te Span­nung von 3 Volt nicht bereit­stel­len kön­nen, son­dern nur viel­fa­che der Lipo-Zel­len­span­nung von 3,7 Volt. 

Strahl­ge­schwin­dig­keit vs = RPM * Stei­gung s?  Bei Wahl eines klei­ne­ren Pro­pel­lers muss die Dreh­zahl grö­ßer  sein um den sel­ben Schub zu erzeu­gen. Aus der höhe­ren Dreh­zahl resul­tiert auch eine höhe­re Strahlgeschwindigkeit. 

Wei­ter­füh­ren­de Links: 

Propeller, Leistung und Akku

Jetzt kön­nen wir uns mal anschau­en wie lan­ge eine Lipo-Zel­le an einem Motor mit ver­schie­de­nen Pro­pel­lern hält. Ver­glei­chen wir die unter­schied­li­che Anzahl von Zel­len mit den Lauf­zei­ten bei ver­schie­de­nen Propellern. 

Die benö­tig­te Leis­tung errech­net sich aus Glei­chung (20)  : P = Kp * d^4 * P * RPM^3
RPM berech­net sich aus Glei­chung (18) : RPM = Kv * U
Der Strom errech­net sich aus der Glei­chung (25) : I = P/U
Die Lauf­zeit errech­net sich aus Glei­chung (4) : t = Q/I = 60 / I 

Damit kön­nen wir Tabel­len 3 und 4 erstel­len:
Vor­ga­be­wer­te: Uz = 3,7 V, Kv = 650, Pro­pel­ler: Kp = 1.11, 6x3 inch 

Zel­lenU / VLeis­tung P in WRPM in 1000/minStrom I in ALauf­zeit t in min
13.70.242.410.07920.16
27.41.934.810.26230.04
311.16.517.220.59102.24
414.815.449.621.0457.51

Tabelle 8–3: Propeller, Leistung und Akku

Vor­ga­be­wer­te: Uz = 3,7 V, Kv = 650, Pro­pel­ler: Kp = 1.11, 10x6 inch 

Zel­len U / VLeis­tung P in WRPM in 1000/minStrom I in ALauf­zeit t in min 
13.73.722.411.0159.63
27.429.794.814.0314.91
311.1100.537.229.066.63
414.8238.289.6216.103.73

Tabelle 8–4: Propeller, Leistung und Akku (2)

Betrach­tet wir die Tabel­len 3 und 4  stel­len wir fest: 

  • Das hin­zu­fü­gen von Zel­len ver­rin­gert die Flugzeit
  • Mit jedem Volt Span­nung erhöht sich auch der Strom, und wir erkau­fen uns mehr Leis­tung für einen immer kür­zer wer­den­den Zeitraum

Mehr Realismus im Modell

Wir wer­den unser Motor­mo­dell noch rea­lis­ti­scher gestal­ten und um vier Para­me­ter erweitern: 

  • Innen­wi­der­stand (Arma­tu­re Resistance)
  • Leer­lauf­strom (No load current)
  • Dreh­zahl­li­mit (RPM limit)
  • Dreh­mo­ment Limit (Tor­que limit)

Innenwiderstand; Das Ohmsche Gesetz

realer Motor und Innenwiderstand

Beim Inn­wi­der­stand der Span­nungs­quel­le sind wir dem ohm­sche Gesetz bereits begeg­net. Glei­chung (11) U=R*I besagt umgeformt: 

(26)   \begin{equation*} I  =\(\frac{U}{R}\)  \end{equation*}

Damit kön­nen wir unse­re For­mel von der Leis­tung (1) erwei­tern in dem wir I ersetzen: 

(27)   \begin{equation*} P  =\(U \cdot  I \)  =   \(U \cdot  \frac{U}{R}\) = \(\frac{U^2}{R}\)    \end{equation*}

oder in dem wir U erset­zen: U = R * I 

(28)   \begin{equation*} P  =\(U \cdot  I \)  =   \(R \cdot  I \cdot  I \) = \( I^2 \cdot  R\)    \end{equation*}

Vor­stel­len kön­nen wir uns das mit der Ana­lo­gie zu einem Was­ser­ei­mer den wir uns als Akku den­ken, der einen Schlauch im Boden hat durch dem das Was­ser (der Strom) her­aus­flie­ßen kann. Erhö­hen wir den Was­ser­spie­gel im Eimer — was einer Erhö­hung der Span­nung der Bat­te­rie ent­spricht, wird das Was­ser mit mehr Druck durch den Schlauch her­aus­flie­ßen. Ver­grö­ßern wir den Eimer ent­spricht das einer Erhö­hung der Bat­te­rie-Kapa­zi­tät. Wenn wir den Durch­mes­ser des Schlau­ches ver­grö­ßern (was einer Ver­klei­ne­rung des Wider­stands ent­spricht) wird das Was­ser schnel­ler ablau­fen. Die Men­ge des Was­sers das in einer Sekun­de aus dem Eimer her­aus­läuft, ent­spricht der Leis­tung im elek­tri­schen System. 

Ein brei­ter Eimer mit einem gro­ßen Durch­mes­ser und einer dün­nen Lei­tung wür­de uns lang­sam wenig Was­ser geben, wäh­rend ein schma­ler Eimer mit einer brei­ten Lei­tung uns schnell viel Was­ser geben würde. 

Bei­de Mög­lich­kei­ten geben uns die sel­be Men­ge Was­ser in einer vor­ge­ge­be­nen Zeit. Ähn­lich ver­hält sich das mit der Bezie­hung zwi­schen Span­nung, Strom und Leistung. 

Jeder Motor hat einen elek­tri­schen Wider­stand, bezeich­net als Rm. Er arbei­tet gegen die Span­nung die an den Motor ange­legt wird, mit dem Effekt das der Kv Wert her­ab­ge­setzt wird. Glei­chung  (18)

    \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot U  \) \label{eq:RPM=Kv*U#3} \end{equation}

Wir kön­nen das Ohm­sche Gesetz benut­zen um die Ver­lus­te im Motor zu berechnen: 

(29)   \begin{equation*} U  =\(R_m \cdot  I  \)  \end{equation*}

Je grö­ßer der Strom, den der Motor zieht, des­to grö­ßer der Ver­lust an Span­nung durch den Innenwiderstand. 

    \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot  U_i  \) \label{eq:RPM=Kv*Ui} \end{equation}

    \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot  \left( U - U_{rm} \right)   \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#2} \end{equation}

(30)   \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot  \left( U -  R_m \cdot I \right)   \)  \end{equation*}

Neh­men wir an wir haben einen Motor mit Kv = 1000 und einem Innen­wi­der­stand von 0.05 Ohm. Wie groß wäre unse­re Dreh­zahl bei 10 Volt und 10 Ampere? Wir benut­zen Glei­chung (30) :

    \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot  \left( U - R_m  \cdot I\right)   \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#4} \end{equation} \begin{equation*} RPM  =\(1000 \cdot  \left( 10 - 0,05 \cdot 10 \right)   \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#5} \end{equation} \begin{equation*} RPM  =\(1000 \cdot  \left( 10 - 0,5 \right)   \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#6} \end{equation} \begin{equation*} RPM  =\( 9500 \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#7} \end{equation}

Bei 10 Ampere ver­lie­ren wir 500 rpm! Wenn wir jetzt einen grö­ße­ren Pro­pel­ler benut­zen, durch den der Motor zum Bei­spiel 30 Ampere zieht? Wir set­zen die Wer­te wie­der in Glei­chung (30) ein:

     \begin{equation*} RPM  =\(1000 \cdot \left( 10 - 0,05 \cdot 30 \right)   \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#8} \end{equation} \begin{equation*} RPM  =\( 8500 \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#9} \end{equation}

Dar­an erken­nen wir: Es ist abso­lut not­wen­dig bei hohen Strö­men Moto­ren mit gerin­gen Innen­wi­der­stand zu verwenden! 

Der Innen­wi­der­stand ist nicht kon­stant, son­dern er wird mit stei­gen­der Motor­tem­pe­ra­tur grö­ßer. Wir müs­sen also im Auge behal­ten das die Dreh­zahl mit der Betriebs­dau­er sinkt, auch wenn die Span­nung des Akkus exakt gleich blie­be — was sie ja auch nicht tut… Bei­des zusam­men soll­te man im Auge haben. 

Was pas­siert wenn wir dem Motor einen so gro­ßen Wider­stand ent­ge­gen­set­zen das er sich nicht dre­hen kann? Der Motor wür­de ver­su­chen den maxi­mal mög­li­chen Strom zu zie­hen, da er ja sei­ne Dreh­zahl errei­chen will. Wir ver­wen­den Glei­chung (26) :

    \begin{equation*} I_{max} =\( \frac{U}{R_m} \) = \( \frac{10V}{0,05 \Omega } \) = \( 200A \) \label{eq:Imax=U/Rm} \end{equation}

Die 200 A sind aber nur theo­re­tisch, da es kei­nen Akku gibt der die­sen Strom lie­fern könn­te. Motor und Akku wären vor­her zerstört. 

Mechanische Leistung, Arbeit, Drehmoment

Wenn wir eine schwe­re Kis­te die Trep­pe ins nächs­te Stock­werk hoch­schlep­pen sol­len ver­rich­ten wir Arbeit. Um die­se mecha­ni­sche Arbeit zu mes­sen kön­nen wir das Gewicht der Kis­te mit der Höhe die wir über­win­den müs­sen multiplizieren. 

(31)   \begin{equation*} W  =\(F \cdot  s \)  \end{equation*}

mit 

(32)   \begin{equation*} F_g =\(m \cdot  a \)  \end{equation*}

erhal­ten wir fol­gen­de Glei­chung für die Hubarbeit: 

(33)   \begin{equation*} W =\(m \cdot  g  \cdot  h \)  \end{equation*}

W — die Arbeit in Joule oder New­ton­me­ter [ Nm ] bzw.  [ kg*m/s^3 ]
F — die Kaft in New­ton [ N ] bzw. [ kg*m/s^2 ]
s, h — der Weg bzw die Höhe in Metern [ m ]
m — die Mas­se in [ kg ]
a, g — Beschleu­ni­gung, Erd­be­schleu­ni­gung in Meter pro Sekun­de-Qua­drat [ m/s2 ] 9,81m/s

Wenn wir eine 10kg schwe­re Kis­te 3 m hoch schlep­pen haben wir 30kg*m Arbeit ver­rich­tet. Die glei­che Arbeit ver­rich­ten wir auch wenn wir zwei 5 kg schwe­re Kis­ten 3m hoch schlep­pen, oder eine Kis­te von 20kg 1,5m hoch. 

30kg*m arbeit ver­rich­tet wir wenn wir 

eine 10 kg Kis­te 3m hoch­tra­gen
eine 20 kg Kis­te 1,5m hoch­tra­gen
eine 10 kg Kis­te 2* 1,5m hochtragen 

Wenn wir unend­lich viel Zeit zur Ver­fü­gung hät­ten könn­ten wir Arbeit ver­rich­ten ohne jemals müde zu wer­den, aber lei­der gibt es eine Gren­ze. Wir kön­nen in einer bestimm­ten Zeit nur eine bestimm­te Arbeit ver­rich­ten. Es ist wesent­lich här­ter einen 27km Mara­thon in ein paar Stun­den zu lau­fen, als sich ein paar Tage dafür Zeit zu las­sen, auch wenn die sel­be arbeit ver­rich­tet wird. 

Mecha­ni­sche Leis­tung ist Arbeit, die in einer bestimm­ten Zeit ver­rich­tet wird: 

(34)   \begin{equation*} P =\( \frac{W}{t} \)  \end{equation*}

P — die Leis­tung in Watt [ W ]
W — die Arbeit in New­ton­Me­ter oder Joule [ 1J = 1Nm ]
t — die Zeit in Sekun­den [ s ] 

Leis­tung gibt es als elek­tri­sche Leis­tung und als mecha­ni­sche Leis­tung. Leis­tung kann jede Art von Leis­tung aus­drü­cken. In einer idea­len Welt kann ich ein Watt elek­tri­sche Leis­tung neh­men und sie in exakt ein Watt mecha­ni­sche Leis­tung umset­zen. Das ist genau das wofür Moto­ren ent­wi­ckelt wur­den: Sie sind “Leis­tungs­kon­ver­ter” und über­setz­ten elek­tri­sche Leis­tung in mecha­ni­sche Leistung. 

Die Leis­tung die der Motor abgibt ermög­licht es aber nicht auto­ma­tisch ein Gewicht in das nächs­te Stock­werk zu trans­por­tie­ren. Die Leis­tung muss noch wei­ter umge­wan­delt wer­den. Genau genom­men rotiert der Motor eine Wel­le: Es ist “Dreh­leis­tung” (Rota­ti­ons­en­er­gie ?) die in RPM “Umdre­hun­gen pro Minu­te” und Dreh­mo­ment aus­ge­drückt wird. 

WICHTIG! Ener­gie Leis­tung hab ich den Zusam­men­hang schon irgendwo? 

Wenn die Kraft senk­recht am Hebel angreift, kann man für das Dreh­mo­ment schreiben: 

(35)   \begin{equation*} M =\(F \cdot  r  \)  \end{equation*}

M — Dreh­mo­ment in New­ton­me­ter [ Nm ]
F — Kraft
r — Abstand von der Drehachse 

Jetzt haben wir schon eine gan­ze Men­ge von Leistungen: 

     \begin{equation*} P =\( U \cdot I \) \label{eq:P=U*I#5} \end{equation} \begin{equation*} P =\( \frac{W}{t} \) \label{eq:P=W/t#1} \end{equation} \begin{equation*} P =\(  M \cdot RPM \) \label{eq:P=M*RPM} \end{equation}

P ist also immer eine Art der Arbeit die in einer bestimm­ten Zeit ver­rich­tet wird. Wo ver­steckt sich in obi­gen For­meln die Zeit? 

  • Elek­tri­sche Leis­tung ist die Mög­lich­keit elek­tri­sche Arbeit über die Zeit zu ver­rich­ten (I ent­hält die Zeitkoponente)
  • Rotations“energie” ist die Mög­lich­keit Dreh­ar­beit über die Zeit zu ver­rich­ten (RPM — “Umdre­hun­gen pro Minu­te” ent­hält die Zeitkomponente).
  • TODO: Dreh­mo­ment ist die Kraft… äääh… Ein grö­ße­rer Pro­pel­ler erfor­dert mehr Dreh­mo­ment als ein klei­ner Pro­pel­ler bei einer kon­stan­ten Drehzahl.

Drehmoment, Strom, Kt

Wir haben ja schon gelernt das die Dreh­zahl des Motors von der ange­leg­ten Span­nung abhängt, was durch den Kv Wert aus­ge­drückt wird. Das Dreh­mo­ment hängt vom Strom ab (TODO: Wie­so, Zusam­men­hang bitte). 

Es gibt eine Motor­kon­stan­te die das Dreh­mo­ment als Funk­ti­on des Stro­mes ausdrückt: 

Kt — Dreh­mo­ment­kon­stan­te, aus­ge­drückt in New­ton­me­ter pro Ame­re [ Nm / A ] 

Das Pro­dukt aus Kv * Kt ist konstant. 

Das bedeu­tet das Dreh­mo­ment das ein Motor lie­fert lässt sich durch den Kv Wert des Motors aus­drü­cken: Je grö­ßer der Kv Wert, des­to klei­ner das Dreh­mo­ment pro Ampere. Je klei­ner der Kv Wert, des­to grö­ßer das Dreh­mo­ment pro Ampere: 

gro­ßer Kv = klei­nes Dreh­mo­ment pro Ampere
klei­ner Kv = klei­nes Dreh­mo­ment pro Ampere 

Es ist unmög­lich einen Motor zu bau­en der einen hohen Kv wert hat — also eine hohe Dreh­zahl pro Volt ange­leg­ter Span­nung, und ein gro­ßes Dreh­mo­ment pro Ampere Strom lie­fert. Ein Motor mit einem hohen Kv Wert wird immer eine gro­ße Men­ge  Strom zie­hen um sei­ne Dreh­zahl zu errei­chen. Ist der Kv Wert nied­rig benö­tigt der Motor ne hohe Span­nung, also vie­le Lipo-Zel­len um sei­ne Dreh­zahl zu erreichen. 

Das deckt sich mit unse­ren bis­he­ri­gen Erkennt­nis­sen: Ein Motor mit einem gro­ßen Kv Wert zieht viel Strom um einen gro­ßen Pro­pel­ler zu dre­hen. … und das ist so, da so ein Motor eine klei­ne Dreh­mo­ment-Kon­stan­te Kt hat, und somit viel Strom benö­tigt um ne Men­ge Dreh­mo­ment zu erzeugen. 

Drehmoment Verluste

Auch bei der Über­set­zung von Strom in Dreh­mo­ment ent­ste­hen Ver­lus­te im Motor: Die­se Ver­lus­te wer­den als “no-load Strom” Io bezeichnet. 

(36)   \begin{equation*} M  =\(K_t \cdot I_{in} \)  \end{equation*}

(37)   \begin{equation*} M  =\(K_t \cdot  \left( I_{in} - I_o \right)   \)  \end{equation*}

Die Kon­stan­te Io ist der Strom der gegen den Ein­gangstrom arbei­tet (INDUKTION) ??? Die­sen Ver­lust an Dreh­mo­ment muss man bei der Aus­le­gung der Leis­tung auf jeden Fall berücksichtigen. 

Drehzahlgrenze

Ein Motor hält nur eine bestim­me maxi­ma­le Dreh­zahl aus, und ein maxi­ma­les Dreh­mo­ment. Wer­den die­se Gren­zen über­schrit­ten zer­stört das den Motor. Durch die auf­tre­ten­den Flieh­kräf­te bei der Rota­ti­on zer­legt es den Motor. Ein hoch­wer­ti­ger Motor mag 40 — 60.000 RPM aus­hal­ten, ein ein­fa­cher so um die 30.000 RPM. Brush­less-Moto­ren wer­den ger­ne am Dreh­zahl Limit betrie­ben, da sie dort am effi­zi­en­tes­ten arbeiten. 

Drehmomentgrenze (torque limit)

Die Dreh­mo­ment­gren­ze beschreibt die Fähig­keit des Motors Hit­ze wider­ste­hen. Wir erin­nern uns dar­an das für das Dreh­mo­ment Strom benö­tigt wird. Durch den Strom­fluß wird im Motor Wär­me erzeugt. Die Hit­ze kann mit zuneh­men­der Betriebs­dau­er so groß wer­den das der Motor beschä­digt wird. Vie­le Her­stel­ler geben ein Dreh­zahli­mit an, das dem Motor erlaubt einen typi­schen R/C Flug von weni­gen Minu­ten zu über­le­ben. Es ist mög­lich den Motor für kur­ze Zeit über die­sem Limit zu betrei­ben. Oft wer­den auch zwei Limits ange­ge­ben. Eines das für kur­ze Zeit gilt, und ein Lang­zeit­li­mit das einen siche­ren Betrieb für die gesam­te Flug­zeit zusichert. 

Bei Her­stel­lern die kei­ne Dreh­zahl- oder Dreh­mo­ment­li­mits ange­ben soll­te man vor­sich­tig sein. Die­se Info ist nicht weni­ger wich­tig als der Innen­wi­der­stand und der Kv Wert. 

Ausgangsleistung

Da wir jetzt über alle Gren­zen und Ver­lus­te Bescheid wis­sen kön­nen wir mal schau­en wie­viel Leis­tung unser Motor pro­du­zie­ren kann wenn wir ihn an einen rea­len leis­tungs­fä­hi­gen Akku anschließen. 

Für einen idea­len Motor gilt ja gemäß Glei­chung (1)  :

    \begin{equation*} P =\(U \cdot I \) \label{eq:P=U*I#6} \end{equation}

Für ein rea­les Modell müs­sen wir Ein­gang- und Aus­gangs­leis­tung sepa­rat betrach­ten. Die Ein­gangs­leis­tung ist die glei­che wie bei der idea­len Betrach­tung: Es ist die Span­nung und der Strom aus der Bat­te­rie. (TODO: War­um nicht das rea­le Modell der Stromquelle?) 

Die Aus­gangs­leis­tung muss die Ver­lus­te im Motor berücksichtigen: 

(38)   \begin{equation*} U_{eff} =\(U - U_{lost} \)  \end{equation*}

(39)   \begin{equation*} I_{eff} =\(I - I_{lost} \)  = \(I - I_0 \)     \end{equation*}

(40)   \begin{equation*} P_{out} =\( \left( U - U_{lost} \right)  \)  \cdot \( \left(I - I_0 \right) \)     \end{equation*}

mit Ulost = I * Rm (Rm wird hier als Kon­stant ange­nom­men was er nicht ist.) 

(41)   \begin{equation*} P_{out} =\( \left( U - I \cdot R_m \right)  \)  \cdot \( \left(I - I_0 \right) \)     \end{equation*}

Bei Über­schrei­tung der Gren­zen kön­nen wir schreiben: 

(42)   \begin{equation*} P_{out} = 0 \)     \end{equation*}

Was soviel bedeu­tet wie: Der Motor ist kaputt und pro­du­ziert nie­mals mehr eine Ausgangsleistung. 

Wirkungsgrad

Der Wir­kungs­grad ist ein­fach zu berech­nen. Er ist ein­fach das Ver­hält­nis von Ein­gangs­leis­tung zu Ausgangsleistung: 

(43)   \begin{equation*} \mu = \frac{P_{out}}{{P_{in}}}  \)     \end{equation*}

Der Wir­kungs­grad wird oft in Pro­zent ange­ge­ben. Dazu müs­sen wir ihn noch mit 100 multiplizieren. 

Beispielrechnung mit einem realen Motor

Motor: A30-18L-UAV

Kv: 680 RPM/volt
Kt: —
Innen­wi­der­stand Rm: .005 Ohms
Leer­lauf­strom Io: 1.0A (an 8.7 Volt)
RPM limit: 15.000 rpm
Tor­que limit: — inde­fi­ni­te / — short periods 

Wir berech­nen die Leis­tung bei einer Ein­gangspan­nung von 10 Volt und einem Ein­gangs­strom von 10 Ampere: 

Pin = U * I = 10 V * 10 A = 100 W 

Pout = (V — Iin * Rm) * (In — Io)
Pout = (10 — 10 * 0.05) * (10 — 1.0)
Pout = (10 — 0.5) * 9
Pout = 9.5 * 8.4
Pout = 85.5 W 

y = Pout / Pin
y = 85.5 / 100
y = 0.855 = 0.885*100 % = 88,5%

Wir sagen vor­her das der Motor an 10V und 10A 85.5 Watt Aus­gangs­leis­tung liefert. 

Ver­än­dern wir mal die 100 Watt Ein­gangs­leis­tung. Wie Effi­zi­ent ist der Motor an 5 Volt und 20 Ampere: 

Pin = U * I = 5 V x 20 A = 100 W 

Pout = (V — I * Rm) * (I — Io)
Pout = (5 — 20 * 0.05) * (20 — 1.0)
Pout = (5 — 1) * 19
Pout = 4 * 19
Pout = 76 W 

y = 76 W / 100 W * 100 = 76 % 

Der Wir­kungs­grad ist schlech­ter gewor­den. Jetzt könn­te ich wei­te­re Berech­nun­gen anstel­len, unter der Berück­sich­ti­gung das die Limits für Dreh­zahl und Dreh­mo­ment nicht über­schrit­ten wer­den… TODO

Die Span­nung bei der die maxi­ma­le Dreh­zahl über­schrit­ten wird berech­nen wir mit: 

rpm = Kv * U
U = rpm / Kv = 15000 rpm / (680 rpm/V) = 22,06 Volt 

TODO: Das Limit für das Dreh­mo­ment kön­nen wir nicht bestimmen? 

Maximaler Wirkungsgrad

Tra­gen wir mal die Berech­nung für ver­schie­de­ne Ein­gangs­span­nun­gen bei kon­stan­tem Ein­gangs­strom auf: 

Ein­gangs Span­nungEin­gangs stromEin­gang leis­tungAus­gangs leis­tungWir­kungs grad
U / VI / AP / WP / WY / %
6201209579%
82016013383%
102020017186%
122024020987%
142028024788%
162032028589%
182036032390%
202040036190%

Tabelle 8–5: Eingangsspannung und Wirkungsgrad

Die Tabel­le zeigt wie der Wir­kungs­grad mit dem Anstieg der Ein­gangs­span­nung steigt. Das Modell sagt vor­her das mit einer Erhö­hung der Ein­gangs­span­nung immer ein Anstieg des Wir­kungs­gra­des ein­her­geht… bis zu dem Punkt wo wir das RPM Limit berüh­ren. Ein Blick auf die For­mel für die Leis­tung am Aus­gang zeigt warum: 

Pout = (U — I * Rm) * (I — Io) 

Je Höher die Ein­gangs­span­nung, des­to weni­ger wir­ken sich die Ver­lus­te aus. Das ist ne gute Nachricht. 

Beim Ein­gangs­strom sieht das anders aus, denn der Ein­gangs­strom I wird einer­seits mit dem Innen­wi­der­stand Rm mul­ti­pli­ziert, was letzt­lich die vom Motor ver­wert­ba­re Span­nung min­dert und damit die Dreh­zahl. Je höher der Ein­gangs­strom, des­to grö­ßer der Ver­lust an effek­tiv ver­wert­ba­rer Span­nung, und damit auch der Ver­lust an Drehzahl. 

Aus­ser­dem wird vom Ein­gangs­strom der (kon­stant ange­nom­me­ne) Leer­lauf­strom abge­zo­gen, so das der effek­tiv vom Motor nur die Dif­fe­renz zur Erzeu­gung von Dreh­mo­ment zur Ver­fü­gung steht. Mit stei­gen­dem Ein­gangs­strom wir­ken sich die Dreh­mo­ment­ver­lus­te aber immer weni­ger aus. 

Eine Erhö­hung des Ein­gangs­stro­mes bewirkt also eine Erhö­hung der Dreh­zahl­ver­lus­te, und eine Ver­min­de­rung der Drehmomentverluste. 

An dem Punkt an dem die­se bei­den Ver­lus­te gleich groß sind arbei­tet der Motor mit der größ­ten Effi­zi­enz (Wir­kungs­grad).

Ein­gangs Span­nungEin­gangs stromEin­gangs leis­tungAus­gangs leis­tungWir­kungs grad
U / VI / AP / WP / WY / %
102209.950%
1044029.474%
1088067.284%
102020017186%
1022220186.985%
1024240202.484.33%
1026260217.583.65%
1028280232.282.93%
1030300246.582.17%

Tabelle 8–6: Eingangsspannung und Wirkungsgrad (2)

Zunächst wird der Wir­kungs­grad mit stei­gen­dem Strom grö­ßer, ab unge­fähr 22 Ampere wird der Wir­kungs­grad mit stei­gen­dem Strom klei­ner. Wir betrach­ten das mal etwas genauer. 

Spal­te [1]: Ein­gangs­span­nung Uin / V
Spal­te [2]: Ein­gangs­strom Iin / A
Spal­te [3]: Ein­gangs­leis­tung P / W
Spal­te [4]: Effek­ti­ve Aus­gangs­span­nung Uout eff / V
Spal­te [5]: U eff = Uout / Uin
Spal­te [6]: Ieff Ein­gangs­strom I out eff / A
Spal­te [7]: I eff = Iout / Iin
Spal­te [8]: Aus­gangs­leis­tung Pout / W
Spal­te [9]: Effek­ti­ver Wirkungsgrad 

Spal­te 5 zeigt das Ver­hält­nis der effek­tiv zur Ver­fü­gung ste­hen­den Span­nung zur Ein­gangs­span­nung auf. Bei stei­gen­dem Ein­gangs­strom sinkt die effek­tiv zur Ver­fü­gung ste­hen­de Span­nung, weil die Span­nungs­ver­lus­te stei­gen, und damit auch der Drehzahlverlust. 

Spal­te 7 zeigt das Ver­hält­nis des effek­tiv zur Ver­fü­gung ste­hen­den Stroms zum Ein­gangs­strom an. Bei stei­gen­dem Ein­gangs­strom steigt der effek­tiv zur Ver­fü­gung ste­hen­de Strom, und damit ver­bes­sert sich das Drehmoment. 

Der Punkt an dem die Ver­lus­te (Ueff und Ieef) gleich sind ist der Punkt an dem der Wir­kungs­grad am größ­ten ist. Der Punkt liegt zwi­schen 20 und 22 Ampere. 

[1][2][3][4][5][6][7][8][9]
102209.999.0%150.0%9.949.5%
104409.898.0%375.0%29.473.5%
108809.696.0%787.5%67.284.0%
1020200990.0%1995.0%17185.5%
10222208.989.0%2195.5%186.985.0%
10242408.888.0%2395.8%202.484.3%
10262608.787.0%2596.2%217.583.7%
10282808.686.0%2796.4%232.282.9%
10303008.585.0%2996.7%246.582.2%

Tabelle 8–7: Eingangsspannung und Wirkungsgrad (3)

Maximale Leistung

Wenn wir den Strom über die­sen Punkt des maxi­ma­len Wir­kungs­gra­des erhö­hen redu­zie­ren wir den Wir­kungs­grad. Die nicht in Dreh­mo­ment und Dreh­zahl umge­setz­te Leis­tung wird vom Motor in Wär­me umge­wan­delt. Über dem Punkt pro­du­ziert der Motor mehr Wär­me als Dreh­zahl. Damit ist die­ser Punkt auch der Punkt der maxi­ma­les Leis­tung. Es macht kei­nen Sinn einem Motor jen­seits die­ser Gren­ze zu betrei­ben, denn mit jedem Ampere Ein­gangs­strom wird weni­ger Leis­tung an der Wel­le und mehr Wär­me erzeugt. 

Der Steller / Regler

Der Reg­ler sitzt zwi­schen Akku und Motor. Er macht aus dem Gleich­strom des Lipo Akkus ein rotie­ren­des Dreh­feld damit unse­re Brush­less Moto­ren über­haupt lau­fen können. 

Beim Reg­ler gibt es immer drei Parameter: 

  • kurz­zei­ti­ge, maxi­ma­le Strom­stär­ke: Die maxi­ma­le Strom­stär­ke die der Reg­ler ver­ar­bei­ten kann darf nicht über­schrit­ten wer­den, sonst ver­brennt der Regler.
  • mitt­le­re, durch­schnitt­li­che Strom­stär­ke: Die durch­schnitt­li­che Strom­stär­ke die der Reg­ler ver­ar­bei­ten kann darf nicht über­schrit­ten wer­den sonst wird der Reg­ler warm, dann heiss, und zuletzt ver­brennt er.
  • Betriebs­span­nung: Der Reg­ler kann nur einen bestimm­ten Betriebs­span­nungs­be­reich arbei­ten: Wenn man einen 7,2V Reg­ler an 24V betreibt geht das auch nicht gut.

Um die Sache noch wei­ter zu kom­pli­zie­ren kann es sein dass für den Reg­ler bei höhe­rer Span­nung nied­ri­ge­re Strom­stär­ken gelten. 

Ein schlecht dimen­sio­nier­ter Reg­ler schal­tet ab, oder ver­brennt.
Der Reg­ler sol­le gut gekühlt wer­den. Wir könn­ten die Reg­ler senk­recht im Luft­strom der Pro­pel­ler anbringen. 

Für die Aus­wahl der Reg­ler gibt es eine Faust­for­mel: Der Reg­ler soll­te 20% mehr A haben als der Motor.

Ist der Reg­ler zu Leis­tungs­schwach (wenig Watt) und kann den Strom­hun­ger des Motors nicht bedie­nen, ver­brennt der Reg­ler! Kann man nicht oft genug sagen

TODO: GETRIEBE !!!!

War­um Reg­ler über­las­ten, wel­chen Ein­fluss die Kabel­län­gen haben steht in die­sem PDF:
www.s4a.ch/eflight/reglerleistung.pdf
www.s4a.ch/eflight/

Vie­le Reg­ler kön­nen mit einem neu­en mul­ti­co­p­ter­taug­li­chen Betrieb­sys­tem (simonK Firm­ware) ver­se­hen wer­den. Wie das geht, und war­um man das machen kann steht hier, und hier. Wer traut sich? 

Der Einfluss von Leitungen und Steckverbindern

Lei­tungs­län­gen soll­ten nicht zu groß sein, die Quer­schnit­te aus­rei­chend dimen­sio­niert. Steck­ver­bin­der sind Schwach­stel­len da sie sich lösen kön­nen, und sind zusätz­li­che Über­gans­wi­der­stän­de. Kup­fer hat Gewicht! 

Zur Dimen­sio­nie­rung kann man mit einer Faust­re­gel arbei­ten: Lei­tun­gen dür­fen mit ca. 12 Ampere pro Qua­drat­mil­li­me­ter Quer­schnitts­flä­che belas­tet wer­den. Der erfor­der­li­che Lei­tungs­quer­schnitt errech­net sich also: 

q = I * 1 mm²/ 12 A
q — Lei­tungs­quer­schnitt in Qua­drat­mil­li­me­tern [mm2]
I — Strom in Ampere [A]

Bei­spiel: Wir erwar­ten einen Strom von 20 Ampere: 

q = 20 A * 1 mm² / 12 A = 1,67 mm² 

Den zu ver­wen­den­den Lei­tungs­quer­schnitt haben wir mit 1,67 mm² berech­net. Lei­tun­gen gibt es aber nur in abge­stuf­ten Grö­ßen. Der nächst grö­ße­re erhält­li­che Quer­schnitt ist 2,0 mm², und den wür­den wir ver­wen­den wollen. 

Für die Zulei­tun­gen müs­sen wir maxi­mal mit 6 X 20A = 120A rechnen: 

q = 120 A * 1 mm² / 12 A = 10 mm² 

Da wir zwei Akkus betrei­ben ver­teilt sich der Strom auf zwei Zuleitungen: 

q =  10 mm² / 2 = 5,0 mm² 

Ver­wen­den wer­den wir 4,0 mm² da der Spit­zen­wert wohl nicht dau­ernd erreicht wird. Wir hof­fen das die Lei­tun­gen nicht zu warm werden. 

Zusätz­lich ist es rat­sam eine 2/3 Reser­ve ein­zu­bau­en. Wenn wir also einen Strom von 20 Ampere erwar­ten soll­ten wir die Lei­tung für 20*3/2 = 30 Ampere aus­le­gen. Der zu ver­wen­den­de Lei­tungs­quer­schnitt wäre dann q = 30 A / 12 = 2,5 mm² 

Für die Zulei­tun­gen vom Lipo ergibt sich mit der Reserve: 

q = 120 A *3/2 * 1 mm² / 12 A = 15 mm² ver­teilt auf zwei Zulei­tun­gen = 15 mm² / 2 = 7,5 mm² 

Die Fra­ge mit wie viel Strom wir einen bestimm­ten Lei­tungs­quer­schnitt belas­ten dür­fen lässt sich durch ein­fa­che  Umstel­lung der Glei­chung auch beantworten: 

I = 12A * q / 1 mm² 

Bei­spiel: Wir haben eine Lei­tung mit 4,0 mm² Quer­schnitt. Wie groß ist der Strom der maxi­mal hin­durch­flie­ßen darf: 

I = 12 A * 4,0 mm² / 1 mm² = 48 A 

Wir dür­fen den Quer­schnitt mit 48 A belas­ten. Auch hier kön­nen wir die 2/3 Reser­ve berücksichtigen: 

I = 12 A*2 * 4,0 mm² / 3 / 1 mm² = 32 A 

Wir dür­fen die Lei­tung dann nur mit maxi­mal 32 A belasten. 

Drehzahl im Flug, und Besonderheit der Y6 Motoranordnung

Wenn unser Mul­ti­co­p­ter fliegt strömt allei­ne durch die Bewe­gung des Cop­ters Luft mit der Flug­ge­schwin­dig­keit die natür­lich auch den Pro­pel­ler umströmt was zur Ent­las­tung des Pro­pel­lers und damit zu einer Dreh­zahl­erhö­hung des Motors führt. Man spricht von einer Dreh­zahl­zu­nah­me zwi­schen 10 und 30% je nach Motor und Stei­gungs-Durch­mes­ser­ver­hält­nis des Pro­pel­lers. Wir bau­en ja einen Y6 Cop­ter, das bedeu­tet das wir jeweils zwei Moto­ren in Serie über­ein­an­der schal­ten. Hier erzeugt der obe­re Motor einen zusätz­li­chen Luft­strom, der auf den unte­ren Motor ent­las­tend wirkt. Das bedeu­tet bei glei­chem Motor und Pro­pel­ler­durch­mes­ser könn­te man den obe­ren Antrieb als Vor­stu­fe bezeich­nen. Das soll­ten wir bei der Aus­le­gung des Antrie­bes berücksichtigen. 

TODO: stim­men die Schlüsse? 

Wir kön­nen den unte­ren Antrieb anpas­sen. Da der unte­re Pro­pel­ler ent­las­tet wird müs­sen wir ihm ent­we­der mehr zu tun geben (grö­ße­rer Blatt­durch­mes­ser, mehr Blät­ter, oder grö­ße­re Stei­gung), oder klei­ner (weni­ger Kv) wählen. 

Wir kön­nen den obe­ren Antrieb anpassen. (…) 

  • Der obe­re Antrieb erhält Pro­pel­ler mit klei­ne­rer Blatt­stei­gung (oder weni­ger Blät­tern? als der unte­re Antrieb) und/oder Moto­ren mit nied­ri­ge­rer Kv.
  • Der unte­re Antrieb ist die Leis­tungs­stu­fe und erhält Pro­pel­ler mit grö­ße­rer Blatt­stei­gung (oder mit mehr Blät­tern als der obe­re Antrieb), und/oder Moto­ren mit höhe­rer Kv.

Abschlussbetrachtung: Genauigkeit unseres Modells

Grau ist alle Theo­rie. Sol­che Rech­nun­gen sind immer nur ein Modell, eine unge­naue Nähe­rung an die Rea­li­tät. Alle Ein­fluss­grös­sen zu berück­sich­ti­gen ist (fast) unmög­lich, bzw. wird immer Auf­wän­di­ger je näher man der Rea­li­tät kom­men will. Man kann aber trotz aller  Unge­nau­ig­keit und Unvoll­stän­dig­keit eini­ge grund­sätz­li­che Din­ge an den ver­ein­fach­ten Berech­nun­gen able­sen. Es ist immer cle­ver — eigent­lich sogar zwin­gend not­wen­dig — all die berech­ne­ten Wer­te,   die ja die Grund­la­ge zur Aus­le­gung der Flug­ge­rä­tes sind, in der Rea­li­tät durch Mes­sun­gen zu über­prü­fen und ggfs. Anpas­sun­gen vorzunehmen. 

Berechnung unseres Multicopters

Aus­ge­hend vom ange­streb­ten Gewicht der Cop­ters wäh­len wir zunächst die Moto­ren aus, und bestim­men dann die Pro­pel­ler dazu. Danach legen wir pas­send zum Strom­be­darf des Motors die Akkus fest. Der Strom bestimmt abschlie­ßend auch den Regler. 

Wir bau­en einen Y6-Mul­ti­co­p­ter. Das Gewicht soll 4500g  betra­gen (mit Kame­ra und Gim­bal, oder fpv-Aus­rüs­tung, und/oder Licht­or­gel ) usw, aber die 5kg Mar­ke nicht über­schrei­ten. Wir rech­nen mal mit bei­den Werten. 

Das bedeu­tet das Gewicht teilt sich für jeden Antrieb durch 6. Das macht für jeden Antrieb 4500g/6 = 750g bzw. 5000g/6 = 834  Gramm die zu bewe­gen sind. 

Damit ein Mul­ti­co­p­ter schwebt geht man über­schlags­mä­ßig von 160 bis 200 Watt Leis­tung pro Kilo­gramm Gewicht aus. Schwe­ben soll­te er bei unge­fähr 50% Schub. Der Schwe­be­schub ent­spricht dem Gewicht des Modells, der Maxi­mal­schub soll­te min­des­tens dem dop­pel­ten des Gewichts ent­spre­chen, in unse­rem Fall also ca 2*3500g = 7000g, bzw. 2*5000g = 10000g. 

Also set­zen wir für den maxi­ma­len Schub das dop­pel­te an und rech­nen mit einer maxi­ma­len Leis­tung von 320 — 400 Watt pro Kilo­gramm. Für einen 1 kg Y6-Mul­ti­co­p­ter wären also 6 Moto­ren mit je maxi­mal ca 66,67 W pas­send, also 66,67 Watt maxi­ma­ler Leis­tung pro Motor pro Kilogramm. 

Zur Dimen­sio­nie­rung unse­res Antriebs set­zen wir also 66,67 W/kg an. 

Unser Cop­ter soll 4,5 bis 5 kg wie­gen. Wir benö­ti­gen also 6 Moto­ren mit 

  • 4,5kg * 66,7W/kg = 233 W
  • 5kg * 66,7W/kg =  333,35 W

TODO: Jetzt müs­sen wir noch die Ver­lus­te durch die koaxia­le Anord­nung der Moto­ren berücksichtigen… 

P = U * I
Leis­tung = Akku­span­nung * maxi­ma­ler Strom des Motors 

TODO Leistungsgewicht

Das Leis­tungs­ge­wicht ist  das Ver­hält­nis aus Mas­se und Leis­tung m/P in  [kg/W]

Glei­chung  (32)  kön­nen wir umstel­len nach der Beschleunigung: 

(44)   \begin{equation*} a = \( \frac{F}{m}  \)   \end{equation*}

Dar­aus erken­nen wir das sich die Fähig­keit zur Beschleu­ni­gen aus dem Ver­hält­nis von Schub zu Gewicht ergibt. 

http://de.wikipedia.org/wiki/Leistungsgewicht

TODO: wo ord­ne ich das ein? 

Das Ver­hält­nis soll­te min­des­tens 2:1 sein. Für einen agi­len Acro Cop­ter kann der Maxi­mal­schub im Ver­hält­nis zum Gewicht  3:1 oder grö­ßer sein. Ein 8″ Kop­ter soll­te ca. 400g  mit Akku wie­gen (ohne FPV und so), ein 10″ 600–700g. Außer­dem soll­te man ein Schub-Gewichts­ver­hält­nis von 4:1 anstre­ben. Mit ca. 100 Watt Maxi­mal­leis­tung pro Motor pro Kilo­gramm Cop­ter­ge­wicht soll­te es hinkommen.” 

TODO Gewichtsverhältnis UAV / Akku & Flugzeit

Das ist  eine Dau­men­re­gel aus dem Netz, basie­rend auf Erfah­rung­wer­ten: Das Gewichts­ver­hält­nis zwi­schen Cop­ter und Akku im Hin­blick auf die Flug­zeit. Beispiel: 

UAV (ohne Akku): 1600 g, Akku: 530kg => Ver­hält­nis: 1600/530 = 3,02. Das Opti­mum an Flug­zeit erreicht man bei über 50% Akku­ge­wicht?  Ob die­se Anga­be brauch­bar bzw. sinn­voll ist muss sich noch erwei­sen

Fazit

Mir sind jetzt die Zusam­men­hän­ge kla­rer — glau­be ich zumin­des­tens, aber wie ich die ein­zel­nen Facet­ten zur Aus­le­gung des Strom­kreis­laufs zusam­men­fü­gen darf ist mir noch nicht ganz klar. Ich brings noch nicht zusam­men. Viel­leicht kannst Du mir auf die Sprün­ge hel­fen? Wir haben jetzt zumin­des­tens ne gute Grund­la­ge um mit DEM Rech­ner für Mul­ti­co­p­ter eine Berech­nung anzu­stel­len. Wei­ter geht es also mit  eCalc...

Wir wün­schen dir viel Spaß beim Ent­wurf dei­nes Cop­ters und hof­fen das die­ses Skript dir dabei hel­fen konn­te — Cars­ten & Maximilian 

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