Berechnung des Stromkreislaufes

Zuletzt geändert: 2. Mai 2020
Geschätzte Lesezeit: 30 min
Inhaltsverzeichnis

Vorbemerkung

Das ist bei weit­em die schwierig­ste Entschei­dung. Alles hängt ja irgend­wie voneinan­der ab. Die Auswahl der Motoren legt die Motor­re­gler und die Wahl der Akkus fest. Die Leis­tung der Motoren ist aber abhängig von dem Gewicht das wir in die Luft bewe­gen wollen… wir wis­sen aber noch gar nicht wie schw­er unser Copter wird. Die Pro­peller hän­gen ja auch mit den Motoren und dem zu hieven­den Gewicht zusam­men. Um die Größe und damit auch das Gewicht des Copters festzule­gen müssen wir wis­sen was wir alles darauf befes­ti­gen müssen. Also brauchen wir auch Motor und Regler, Empfänger, etc… irgend­wie drehen wir uns im Kreis und find­en keinen Anfang.

Was passiert denn hier eigentlich? Im Grunde treiben wir Motoren mit elek­trisch­er Energie aus Akkus an und ver­suchen so die daran befes­tigte Kon­struk­tion in die Luft zu heben. Die elek­trische Energie wird durch den Motor in mech­a­nis­che Energie, genauer in eine Rota­tions­be­we­gung / Drehmo­ment umge­wan­delt.

Die Grund­lage dafür ist die Lorentz-Kraft:

Wird ein Leit­er inner­halb eines Mag­net­feldes von einem Strom durch­flossen, so ergibt sich eine Kraftwirkung auf den Leit­er.

Dieser Rota­tion wan­deln wir mit Hil­fe der Pro­peller in mech­a­nis­che Bewe­gungsen­ergie (Auftrieb und Vor­trieb) um, in dem wir Luft bewe­gen, und schon fliegen wir. So ein Mul­ti­copter ist also im Grunde ein großer Energiewan­dler. Jet­zt gilt es all das so zu dimen­sion­ieren das möglichst viel dieser elek­trischen Energie in Bewe­gung umge­wan­delt wird.  Akku, Steller, Motor und Pro­peller und sog­ar die Leitun­gen und Steck­er die alles miteinan­der verbinden spie­len auf­grund der hohen Ströme eine Rolle dabei und müssen passend dimen­sion­iert wer­den.

Stromkreislauf und Energiewandlung


Um zu ver­ste­hen wie das funk­tion­iert und zusam­men­hängt schauen wir uns an Besten die einzel­nen Kom­po­nen­ten mal an, und ver­suchen ein math­e­ma­tis­ches Mod­ell zu erstellen. Dieser Artikel hat  in den let­zen Monat­en erhe­blich an Umfang zugelegt und du soll­test viel Geduld mit­brin­gen. Für Tips, Verbesserungsvorschläge und Ergänzun­gen sind wir immens dankbar.

Du soll­test einen Taschen­rech­n­er bere­itle­gen um die Rech­nun­gen nachvol­lziehen zu kön­nen. Außer­dem kannst du dir hier die Berech­nun­gen der Tabellen in Form ein­er Tabel­lenkalku­la­tion (Open-Office, Open-Doc­u­ment For­mat) herun­ter­laden:

Tabellenblatt zur Berechnung des Stromkreislaufs

Wie immer ist alles WIP. Wir übernehmen selb­stre­dend keine Gewähr für Fehler­frei­heit und Voll­ständigkeit, und schließen jede Haf­tung aus. Die Benutzung erfol­gt auf eigene Gefahr!

‘Berech­nung des Stromkreis­laufs’ herun­ter­laden

 Release History

  • 2014-12-24 — Ver­sion 0.2.0 — Kor­rek­tur Tabelle 8–4 bis 8–7, Pro­peller B. Bei der Berech­nung des Stromes wurde auf die falsche Spalte Leis­tung ref­eren­ziert.
  • 2014-12-19 — Ver­sion 0.1.0 — Akku, Pro­peller, Span­nung / Pro­peller / Laufzeit, Wirkungs­grad

Beachte dabei auch den Haf­tungsauss­chluss. Das Doku­ment ist nicht fer­tig, son­dern wird weit­er verbessert und ergänzt. Weit­ere Doku­mente find­est du auf unser­er Seite Down­loads.

Der einfache Stromkreislauf

Betra­cht­en wir mal ein ein­fach­es Mod­el des Stromkreis­laufs. Wir haben eine Span­nungsquelle in Form eines Akkus, und einen Ver­brauch­er in Form eines Elek­tro-Motors — bei­de sind über isolierte Kupfer­leitun­gen miteinan­der ver­bun­den.

einfacher Stromkreislauf

Die Spannungsquelle — Der Akku

Als Span­nungsquelle ver­wen­den wir Lipo Akkus. Die Akkus sollen die benötigte elek­trische Leis­tung liefern:

(1)   \begin{equation*} P =\(U \cdot I \)  \end{equation*}

Gle­ichung beschreibe ich immer so:
Formelze­ichen — Beze­ich­nung in Ein­heit [ Ein­heit in Kurz­schreib­weise ]

U – die Span­nung in Volt [ V ]
I – der Strom in Ampere [ A ]
P – die Leis­tung in Watt [ W ]

und — mul­ti­pliziert mit der Motor-Laufzeit — für die benötigte elek­trische Energie sor­gen:

(2)   \begin{equation*} W =\(P \cdot t \)  \end{equation*}

P – die Leis­tung in Watt [ W ]
t – die Zeit in Stun­den [ h ]
W — die Energie in Wattstun­den [ Wh ]

Die Gle­ichun­gen schauen wir uns später noch genau an.

Das Gewicht des Akkus macht einen großen Teil des Gesamt­gewicht­es aus. Ist er zu groß wird der Mul­ti­copter zu schw­er, ist er zu klein stimmt die Flu­gleis­tung nicht. Um weit­er zu kom­men schauen wir uns erst­mal ein paar Begriffe an:

elektrische Spannung

U – Span­nung in Volt [ V ]

Wenn man zur elek­trischen Span­nung Poten­tial sagt wird deut­lich­er was es ist: Es ist der Unter­schied zwis­chen zwei Polen. Wir kön­nten einen Akku zum Beispiel anschaulich als zwei Gewäss­er betra­cht­en. Das eine auf einem Berg liegt höher als das andere im Tal. Die Span­nung entste­ht auf­grund des Poten­tialun­ter­schiedes. Es ist die Kraft die das Wass­er aus den höher gele­ge­nen Gewäss­er in das tiefer gele­gene Fließen lässt, sobald man die Möglichkeit dazu ein­räumt. Der Wasser­fall oder das Fluss­bett ist dann die Leitung.

Die Span­nung des Akkus ist nicht für alle Zeit­en kon­stant. Sie sinkt im Ver­lauf des Betriebs ab da er ent­laden wird. Wir soll­ten den Akku nie soweit ent­laden das die Ent­lade­schlusss­pan­nung von 3V pro Zelle (für LiPos) erre­icht bzw. unter­schrit­ten wird, denn dann laufen im inneren des Akkus chemis­che Prozesse ab die ihn zer­stören.

Die Höhe der Span­nung wird durch die Zahl der ZELLEN eines Akkus bes­timmt. Eine LiPo-Zelle hat eine Nennspan­nung von 3,7V. Diese Span­nung wird auch unter Belas­tung bei geladen­er Zelle gehal­ten.

elektrischer Strom

I – Strom in Ampere [ A ]

Bilden wir einen geschlosse­nen Stromkreis­lauf mit ein­er Quelle (Akku) und einem Ver­brauch­er (zB. Motor), dann begin­nt ein elek­trisch­er Strom zu fließen. Der Strom gibt let­ztenen­des an wie viele Elek­tro­nen durch das Kabel fließen.

Wenn wir unseren Mul­ti­copter betreiben, müssen also entsprechend viele Elek­tro­nen aus dem Akku zu den Motoren fließen. Muss der Motor viel arbeit­en, wird er mehr Strom benöti­gen.

Wir kön­nten auch die Span­nung erhöhen, aber die ist mit der Anzahl der Zellen unseres Akkus beim Entwurf des Copters fest­gelegt wor­den fix, also Regeln wir die Ent­nahme des Stroms über die Regler.

Über den Regler bes­tim­men wir also vieviel Strom der Motor aus dem Akku ziehen darf. Mit zunehmender Ent­ladung senkt sich die Span­nung des Akkus.

Hohe Ströme sind unhan­dlich da sie grosse Kabel­quer­schnitte erfordern. Die Elek­tron­ik ist schw­er­er zu bauen und Kom­po­nen­ten die den Strom ver­ar­beit­en müssen unter Umstän­den gekühlt wer­den. Deshalb haben größere Mul­ti­kopter mehr Zellen um den Strom zu senken und trotz­dem mehr Leis­tung abgeben zu kön­nen (P=U*I – Leis­tung ist Span­nung mal Strom).

Akkukapazität, Flugzeit

Die Kapaz­ität ist ein Wert der bei jedem Akku angegeben wird, und mit dem sich einiges Berech­nen lässt. Jede Zelle hat nur eine bes­timmte Kapaz­ität, und kann nur eine bes­timmte Menge Strom liefern was als Kapaz­ität oder Strom­menge in Ah aus­ge­drückt wird.

Kapaz­ität = Strom * Zeit

(3)   \begin{equation*} Q =\(I \cdot t \)  \end{equation*}

I – der Strom in Amper [ A ]
t – die Zeit in Sekun­den [ s ]
Q – die Kapaz­ität in Amper­estu­den [ Ah ]

Die Akkuka­paz­ität gibt also an wie lange ein bes­timmter Strom aus dem Akku ent­nom­men wer­den kann. Die Kapaz­ität Q wird in Amper­estun­den (Ah) oder Mil­liamper­estun­den (mAh) angegeben.

Nehmen wir mal an unsere Energiezelle kön­nte 1 Amper­stunde liefern, das bedeutet 1A pro Stunde oder kurz 1 Ah. Wenn wir mehr als 1 Ampere ent­nehmen, dann geht die Energie eher zur Neige, das heißt die Laufzeit verkürzt sich.

Wenn ich die Gle­ichung umstelle kann ich grob die Laufzeit berech­nen:

(4)   \begin{equation*} t =\( \frac{Q}{I} \)  \end{equation*}

Die Ein­heit von Q ist Ah. Die Ein­heit von I ist A. Da ich in Minuten rech­nen will schreibe ich für 1h = 60 min.

(5)   \begin{equation*} Laufzeit =\( \frac{Q \cdot 60}{I} \)  \end{equation*}

Beispiel: Q = 2500mAh bedeutet das der Akku eine Stunde lang 2500mA bzw. 2,5 A abgeben kann bis er leer ist. Wir ent­nehmen dem Akku aber wesentlich höhere Ströme, zum Beispiel 25A. Mit Gle­ichung (4) ergibt sich für Q = 2500mAh = 2,5 Ah und I = 25 A:

    \begin{equation*} t=\(\frac{Q}{I}\) = \(\frac{2,5Ah}{25A}\) = 0,1h = \(0,1h \cdot 60 Min\) = 6 Min \label{eq:Akku-Laufzeit-Beispiel} \end{equation}

Da der Strom 10x so hoch ist wie die Kapaz­ität, kön­nen wir auch nur noch 1/10 von ein­er Std. Strom ent­nehmen, was ein­er Flugzeit von 6min entspricht.

Wir kön­nen mehrere Zellen in Rei­he geschal­tet um die Span­nung zu erhöhen, und wir stellen fest: Die Kapaz­ität ändert sich dadurch nicht.

Capacity Rate, C‑Rate

Die Capac­i­ty Rate bzw. C‑Rate gibt an wie hoch der Strom max­i­mal sein darf der aus dem Akku ent­nom­men wird ohne das der sich stark aufheizt.

(6)   \begin{equation*} I_{max} =\(C \cdot Q \)  \end{equation*}

C – die C‑Rate [ 1/h ]
Q – die Kapaz­ität in Amper­estu­den [ Ah ]
I – der Strom in Amper [ A ]

Damit kön­nen wir den max­i­malen Strom Berech­nen den wir dem Akku ent­nehmen dür­fen.

Unter der 1 C‑Rate ver­ste­ht man den Strom, der zu ein­er 1‑stündigen Ent­ladung gehört.

Bei einem Akku mit ein­er C‑Rate von 20 darf max­i­mal die 20 fache Kapaz­ität an Strom ent­nom­men wer­den. Bei ein­er Kapaz­ität von 2100mAh=2,1Ah also ein max­i­maler Strom von 2,1Ah * 20/h = 42A.

Falls sich ein Akku im Betrieb zu stark erwärmt sollte man einen mit ein­er höheren C‑Rate wählen.

Beispiel: C = 2500mAh = 2.5 Ah, 1 C‑Rate = 2.5 A

Der Akku kann eine Stunde lang einen Strom von 2.5 A abgeben.

4C -> 4/h * 2.5Ah = 10A
10C -> 10/h * 2.5Ah = 25A

Die auf einem Akku angegebene Kapaz­ität gilt immer nur für die Ent­ladung mit der 1 C‑Rate. In Flug ent­nehmen wir aber mehr Strom, sodas die Kapaz­ität sinkt? (weit­er unten erk­lärt)

Akkus sind Massen­pro­duk­te die Serien­streu­un­gen aufweisen, das bedeutet sie ver­fü­gen häu­fig über mehr oder weniger Kapaz­ität als aufge­druckt. Auch die C‑Raten sind oft mehr Wun­schdenken der Her­steller. Erwis­cht man ein schlecht­es Exem­plar nimmt die Kapaz­ität schneller ab als erwün­scht.

Akkukonfiguration

Die Akkukon­fig­u­ra­tion gibt an wie viele Akkuzellen in welch­er Art ver­schal­tet sind:

Akkuconfiguration

Eine einzelne LiPo-Zelle hat eine Nennspan­nung von Uz = 3,7 V, schal­tet man sie in Rei­he / Serie erhöht sich die Span­nung.

(7)   \begin{equation*} xs =\(x \cdot U_{z} \)  \end{equation*}

x – Anzahl der Zellen [ ]
s — Kennze­ichen für Serie
Uz – Nennspan­nung ein­er Zelle in Volt [ V ]

Beispiel: 3s = 3 * Uz = 3 * 3,7V = 11,1V.

Schal­tet man sie par­al­lel (Kennze­ichen p — nicht zu ver­wech­seln mit der Leis­tung) erhöht sich die Kapaz­ität, und damit ergibt sich ein höher­er max­i­maler Strom, bei gle­ich­er Span­nung und C‑Rate.

(8)   \begin{equation*} Q_{ges} =\(Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} + \ldots \)  \end{equation*}

Beispiel: Qges = 2500mAh + 2500mAh = 5000mAh

    \begin{equation*} Q_{ges} =\(2500mA + 2500mA = 5000mA \) \label{eq:Q-Summe-Beispiel} \end{equation}

Aus Gle­ichung  (6) Imax=C*Q fol­gt für eine C‑Rate von10/h:

(9)   \begin{equation*} I_{max} =\(C \cdot Q \) = \(\frac{10}{h} \cdot 5 Ah \) = 50 A   \end{equation*}

Die Anzahl der Einzelzellen für eine Kon­fig­u­ra­tion ergibt sich aus der Mul­ti­p­lika­tion von s und p.

(10)   \begin{equation*} Anzahl der Zellen  =\( xS \cdot yP  \)  \end{equation*}

6s2p bedeutet also 6 Zellen in Rei­he und 2 Zellen par­al­lel: 6*2 = 12 Zellen.

Meis­tens kauft man sich die Akkus schon fer­tig kon­fek­tion­iert, und lötet nicht sel­ber einzelne Zellen zusam­men. Es kann allerd­ings sin­nvoll sein mehrere solch­er vorkon­fek­tion­ierten Akkus par­al­lel zu schal­ten.

Innenwiderstand; Das Ohmsche Gesetz

Jed­er Akku hat auch einen Innen­wider­stand. Einen realen Akku kön­nen wir uns als ide­ale Span­nungsquelle vorstellen die eine kon­stante Span­nung liefert und die mit einem ohm­schen Wider­stand in Rei­he geschal­tet ist. Wir kön­nen auch jede einzelne Lipo-Zelle als eine solche Ein­heit betra­cht­en.

reale Spannungsquelle

Das ohm­sche Gesetz besagt:

(11)   \begin{equation*} U =\(R \cdot I \)  \end{equation*}

I – der Strom in Ampere [ A ]
R – der Wider­stand in Ohm bzw. … [ Ohm ]
U – die Span­nung in Volt [ V ]

Die Span­nung an den Klem­men berech­net sich aus der Dif­ferenz der Quel­lenspan­nung unser­er ide­alen Span­nungsquelle ver­min­dert um den Span­nungsab­fall am Innen­wider­stand:

(12)   \begin{equation*} U =\(U_0 - U_{Ri} \)  \end{equation*}

mit Gle­ichung (11) kön­nen wir für den Span­nungsab­fall am Innen­wider­stand schreiben Uri = I*Ri

(13)   \begin{equation*} U =\(U_0 - I \cdot R_i  \)  \end{equation*}

Dieser Innen­wider­stand sorgt dafür das die Span­nung an den Klem­men nicht kon­stant ist. Je größer der Strom ist den wir ent­nehmen desto mehr sinkt die Span­nung an den Klem­men da der Span­nungsab­fall am Innen­wider­stand gröss­er wird.

Auf diesen Umstand kom­men wir später beim Motor noch zurück.

Momen­tan betra­cht­en wir unsere Span­nungsquelle als Ide­al — das bedeutet mit einem Ri von 0 Ohm.

Energiemenge in Wattstunden

Eine Wattstunde (Wh) ist eine Ein­heit die beschreibt wie viel Leis­tung ins­ge­samt über einen bes­timmten Zeitraum ver­füg­bar ist.

(14)   \begin{equation*} W =\(P \cdot t  \)  \end{equation*}

P – die Leis­tung in Watt [ W ]
t – die Zeit in Stun­den [ h ]
W – die Energie in Wattstun­den [ Wh ]

mit Gle­ichung (1) P = U * I kön­nen wir W = U * I * t schreiben, und da wir aus Gle­ichung (3) wis­sen das Q = I * t ist fol­gt daraus:

(15)   \begin{equation*} W =\(Q \cdot U  \)  \end{equation*}

Q – die Kapaz­ität in Amper­stun­den [ Ah ]
U – die Span­nung in Volt [ V ]
W – die Energie in Wattstun­den [ Wh ]

W wird als elek­trische Arbeit beze­ich­net. Die Energiemenge in unser­er Zelle steigt mit der Kapaz­ität und der Span­nung, damit steigt aber auch das Gewicht, die Grösse und nicht zulet­zt der Preis.

Wenn wir Akku-Zellen hin­tere­inan­der schal­ten addieren wir Wattstun­den.

Vor­gabe­w­erte
Spalte 1: Anzahl der Zellen n
Spalte 3: Q

Berech­nete Werte:
Spalte 2: U = n * Zel­lenspan­nung = n * Uz = n * 3,7V
Spalte 4: W = Q * U

Anzahl der ZellenSpan­nung U in VKapaz­ität Q in AhArbeit W in Wh
13.725009250
27.4250018500
31.1250027750
414.8250037000

Tabelle 8–1: Spannung und Kapazität bei Reihenschaltung

Wir sind ja für unser Beispiel von ein­er Zelle mit 3,7 Volt aus­ge­gan­gen, die wir in Serie hin­tere­inan­der schal­ten. Die Wattstun­den kön­nen wir auf zwei Wegen erhöhen. Indem wir die Span­nung der Zelle erhöhen, oder in dem wir die Kapaz­ität dieser Zelle erhöhen.

Brushless Motoren

Wer­fen wir einen Blick auf die Motoren. Zum Ein­satz kom­men Brush­less-Motoren, das bedeutet Gle­ich­strom­mo­toren ohne Bürsten. Diese Art von Motoren weißt einige Beson­der­heit­en auf die man wis­sen sollte um zu ver­ste­hen wie der Stromkreis­lauf funk­tion­iert.

Brush­less Motoren sind für eine ganz bes­timmte Drehzahl gebaut, und diese — so genan­nte spez­i­fis­che Drehzahl Kv, ver­suchen sie um jeden Preis zu erre­ichen sobald man sie an eine Stromquelle hängt, und sie nehmen keine Rück­sicht darauf ob sie sich sel­ber oder andere (die Stromquelle) dabei über­las­ten.

Um eine Über­las­tung zu ver­mei­den muss man einen geeigneten Pro­peller, und eine geeignete Stromquelle wählen. Ein Regler fungiert als Gehirn des Motors und schützt ihn vor sich sel­ber.

Befes­ti­gen wir an den Motoren Pro­peller müssen sie arbeit­en indem sie Luft bewe­gen. Ein zu klein­er Pro­peller ist zwar nicht schlimm, aber der Motor hat (gemessen an seinem eige­nen Gewicht) zu wenig zu tun. Ein kleiner­er, und damit leichter Motor kön­nte die Arbeit auch leis­ten, es ist schlicht Energiev­er­schwen­dung. Sind die Pro­peller zu groß über­fordert das die Motoren. Es ist also wichtig die Pro­peller so zu wählen das der Motor gefordert, aber nicht über­fordert wird. Diesen opti­malen Arbeits­bere­ich nen­nt man Leis­tungsan­pas­sung.

    \begin{equation*} mechanische Leistung =\( Drehzahl \cdot Drehmoment \) \label{eq:Leistung-PNM-text} \end{equation}

(16)   \begin{equation*} P =\(n \cdot M  \)  \end{equation*}

n – Umdrehun­gen in Umdrehun­gen pro Minute [ rpm ]
M – das Drehmo­ment in . [ … ]
P – die Leis­tung in Watt [ W ]

Die elek­trische Leis­tung berech­net sich laut Gle­ichung (1)  aus Span­nung mul­ti­pliziert mit Strom: P = U * I

Das ist eine span­nende Stelle in unser­er Betra­ch­tung, denn hier stellen wir den Zusam­men­hang zwis­chen elek­trisch­er Leis­tung und mech­a­nis­ch­er Leis­tung her. Gle­ichung (16) und (1) gegenüber gestellt:

    \begin{equation*} elektrische Leistung =\( mechanische Leistung \) \label{eq:PUIgleichMN-text} \end{equation}

(17)   \begin{equation*} P  =\(U \cdot I = n \cdot M  \)  \end{equation*}

Die Span­nung gibt die Drehzahl vor, und der Strom das Drehmo­ment. Im Ide­al­fall wird die gesamte elek­trische Leis­tung in mech­a­nis­che Leis­tung umge­set­zt. Lei­der ist die Welt aber nicht so, wie wir später beim Wirkungs­grad noch sehen wer­den.

Hier wird auch fol­gen­des deut­lich: Eine bes­timmte Leis­tung erhal­ten wir entwed­er über eine hohe Drehzahl oder über ein hohes  Drehmo­ment… und:  Wir bekom­men entwed­er ein hohes Drehmo­ment oder eine hohe Drehzahl, aber niemals bei­des.

Der Strom kommt aus unserem LiPo Akku Akku, und ist damit begren­zt. Ein hoher Strom entlädt unseren Akku schneller, und zieht die Span­nung an den Anschlüssen herunter da am Innen­wider­stand des Akkus ein nen­nenswert­er Span­nungsab­fall entste­ht.

(TODO Unter­schiede Aussen­läufer, Innen­läufer. Aussen­läufer haben weniger Kv als Innen­läufer, dafür mehr Drehmo­ment).

Brush­less-Motoren sind nur für einen Kurzzeit­be­trieb aus­gelegt. Sie haben drei Anschlüsse für das Drehfeld — Bürsten­mo­toren haben nur zwei. Es gibt sie mit Sen­sor, und Sen­sor­less. Motoren mit Sen­sor sind teuer und machen Sinn wenn man sie bei niedriger Drehzahl betreiben will. Der Sen­sor über­mit­telt Dat­en (Posi­tion des Rotors, Tem­per­atur) an den Regler. Bei Motoren ohne Sen­sor hört man bei geringer Drehzahl oft ein Pfeifen des Motors, und nimmt ein ruck­eln wahr. Motoren mit Sen­sor zeigen dieses Ver­hal­ten bei niedri­gen Drehzahlen nicht. Das liegt daran das die Posi­tion des Rotors im Drehfeld mit einem Sen­sor genauer ermit­telt wer­den kann als ohne Sen­sor.

Drehzahlkonstante Kv und Spannung

Bei Motoren ste­hen meist so Angaben in  Kv. Das K ste­ht für Kon­stante und das v für Volt. Es gibt Motoren mit unter­schiedlichen Kv Werten.

Ein Motor mit 1000 Kv macht 1000 Umdrehun­gen pro Volt. Das bedeutet für jedes Volt Span­nung das angelegt wird dreht sich der Motor um 1000 Umdrehun­gen pro Minute schneller (RPM bedeutet Rounds per Minute). Für unseren Motor schaut das so aus:

1V -> 1000 u/min ,
2V -> 2000 u/min, und so weit­er.

Der math­e­ma­tis­che Zusam­men­hang ist

(18)   \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot U  \)  \end{equation*}

Kv – die Drehzahlkon­stante in Umdrehun­gen pro Volt [ n/V ] ??
U – die Span­nung in Volt [ V ]
RPM – Anzahl der Umdrehun­gen pro Minute [ rpm ]

Der Zusam­men­hang zwis­chen der Umdrehungszahl des Motors und der angelegten Span­nung ist äquiv­a­lent. Wenn ich einen 1000 Kv Motor vor mir sehe der sich mit 6000 RPM dreht kann ich davon aus­ge­hen das 6 Volt Span­nung anliegen. Mit Gle­ichung (16)   kann ich die Span­nung aus­rech­nen die ich für eine bes­timmte Drehzahl benötige:

V = RPM / Kv  ->  6000 / 1000 = 6 V.

Nehmen wir uns nochmal Gle­ichung (18)   her und betra­cht­en kurz zwei Motoren mit unter­schiedlichen Kv — Beispiel­sweise 500 und 1000 — die wir bei gle­ich­er Drehzahl betreiben wollen:

RPM = Kv * U
RPM = 500 * 10 V = 5000 u/min
RPM = 1000 * 5 V = 5000 u/min

Um auf die selbe Drehzahl zu kom­men wird in dem einen Fall 5 V benötigt, und in dem anderen Fall 10 V… das bedeutet ich müsste in dem einen Fall 5 Zellen mit 1 V in Rei­he schal­ten und in dem anderen Fall die dop­pelte Menge, näm­lich 10 Zellen je 1V. Auch hier sehen wir wieder: Da unsere Zellen aber 3.7 Volt haben kön­nen wir diese Werte gar nicht exakt ein­stellen.

Weniger Kv bedeutet mehr Gewicht, aber auch län­gere Laufzeit (warum?)

Erk­lärungsver­such ?? <wird über­ar­beit­et>

Zurück zu unserem Beispiel: Wir benöti­gen eine Energiequelle für unseren 1000 Kv Motor. Unsere Lipo-Zellen liefern 3,7 Volt, somit lässt sich die Drehzahl nur in groben Schrit­ten ein­stellen:

1000kV * 1 * 3,7V = 3700 rpm
1000kV * 2 * 3,7V = 7400 rpm
1000kV * 3 * 3,7V = 11.100 rpm
1000kV * 4 * 3,7V = 14.800 rpm

Die Erhöhung der Betrieb­ss­pan­nung eine sehr ein­fache Möglichkeit, die Leis­tung des Motors zu erhöhen. Eine erhöhte Leis­tung geht immer zulas­ten der Lebens­dauer des Motors, im Extrem­fall kann der Motor durch Betrieb mit ein­er Leis­tung weit über sein­er Nennleis­tung über­haupt defekt wer­den.

Wir betra­cht­en uns noch ein­mal Gle­ichung  (17)   und set­zen für die Drehzahl n die Gle­ichung  (18) ein:

    \begin{equation*}    \(U \cdot I = \(K_V \cdot U  \)  \cdot M  \)    \label{eq:U*I=Kv*U*M} \end{equation}

Wir kürzen Die Span­nung U her­aus und erhal­ten damit:

    \begin{equation*}    \(  I = \(K_V  \cdot M  \)    \label{eq:I=Kv*M} \end{equation}

Jet­zt noch schnell nach dem Drehmo­ment aufgelöst, sehen wir den Zusam­men­hang zwis­chen dem Drehmo­ment, dem Strom und dem KV Wert:

(19)   \begin{equation*}    \(  M = \(   \frac{I}{K_V}  \)     \end{equation*}

Das Drehmo­ment hängt direkt pro­por­tion­al vom Strom ab: Ein großer Strom bewirkt ein großes Drehmo­ment. Das Drehmo­ment ist umgekehrt pro­por­tion­al zum KV Wert. Je klein­er der KV Wert, desto größer das Drehmo­ment, je größer der KV Wert des klein­er das Drehmo­ment.

Windungszahl / Turns

Bei manchen Motoren wer­den die Turns angegeben. Turns sind die Anzahl der Win­dun­gen.

Diese Angabe ist als grober Anhalt­spunkt für das Drehmo­ment zu ver­ste­hen:

Je weniger Turns, desto geringer das Drehmo­ment, desto größer die Drehzahl bzw. der KV Wert,  höher die Leis­tung, und der Stromhunger des Motors (weniger Innen­wider­stand durch weniger Win­dun­gen).

Je mehr Turns desto größer das Drehmo­ment, desto geringer die Drehzahl bzw. Kv und so geringer der Strom (größer­er Innen­wider­stand durch mehr Win­dun­gen). Viele Win­dun­gen machen das Mag­net­feld stark, aber langsam.

Genau rech­nen kann man mit dieser Angabe nicht! Drehmo­ment, Stro­mauf­nahme, Drehzahl  sind nicht nur von der Win­dungszahl abhängig. Motoren mit gle­ich­er Turn Zahl kön­nen trotz­dem unter­schiedliche Drehzahlen/Drehmomente habe, denn es kommt auch darauf an  wie die Wick­lun­gen ver­schal­tet sind — Stern oder Dreieck — oder wie lang oder dick der Rotor ist, das Mag­net­ma­te­r­i­al, die Kupfer­qual­ität, Wick­lungs­dichte, Wick­lungs­güte, den Luftspalt, Rund­lauf, Draht­stärke, Polzahl, usw.

Das bedeutet das zwei Motoren mit gle­ichen Turn Angaben vol­lkom­men unter­schiedlich sind und unter­schiedliche Drehzahlen haben. Die Turn Angabe eignet sich nicht zum Ver­gle­ich von Motoren. Wichtiger ist die Drehzahl. Einen ein­fachen Zusam­men­hang zwis­chen der Turn-Angabe und dem KV Wert gibt es nicht.

Weit­er­führende Links:

Der Propeller

Unser Motor läuft bis jet­zt noch im Leer­lauf. Wenn wir ihn mit einem Pro­peller verse­hen kann er arbeit­en in dem er Luft bewegt, damit soll­ten wir am Ende den Motor mit samt Flugkör­p­er in die Luft bekom­men. Beschränken wir uns zunächst auf den Pro­peller als “Masse”:

Ein Pro­peller hat einen bes­timmten Durchmess­er (diam­e­ter), und die Blät­ter haben einen bes­timmten Anstell­winkel oder auch Stei­gung genan­nt (pitch). Je größer der Anstell­winkel umso größer die Strecke die sich der Pro­peller mit jed­er Umdrehung nach oben schraubt. Das bedeutet für langsames fliegen einen Pro­peller mit größerem Durchmess­er und kleiner­er Stei­gung, und für schnelles fliegen einen Pro­peller mit kleinerem Durchmess­er und größer­er Stei­gung zu wählen. Die Angaben wer­den meist in Zoll gemacht, wobei 1 Zoll = 2.54cm ist.

Beispiele:
6x3 bedeutet 6 Zoll diam­e­ter x 3 Zoll pitch.
10×6 bedeutet 10 Zoll diam­e­ter x 6 Zoll pitch.

…und so weit­er. Es gibt ganz viele unter­schiedliche Kom­bi­na­tio­nen, was es schw­er macht den opti­malen Pro­peller zu find­en.

Der Motor benötigt bei gle­ich­er Drehzahl mehr Energie einen 10x6 Pro­beller zu bewe­gen, als einen 6x3.

Unge­fähr die gle­iche Leis­tung ergibt sich wenn der Pro­peller größer, und gle­ichzeit­ig die Stei­gung klein­er gewählt wird, und umgekehrt. Zum Beispiel 8x7, 9x6, 10x5.

Was uns jet­zt noch fehlt ist der Zusam­men­hang mit dem Strom

Propeller und Leistung

Wir müssen zwis­chen mech­a­nis­ch­er Leis­tung und elek­trisch­er Leis­tung unter­schei­den. Die mech­a­nis­che Leis­tung an der Motor­welle ergibt sich aus Drehmo­ment mal Geschwindigkeit — Gle­ichung (16) . Je höher das Drehmo­ment, desto höher die Leis­tung, je höher die Geschwindigkeit (Drehzahl), desto höher die Leis­tung. Das Ver­hält­nis von mech­a­nis­ch­er zu elek­trisch­er Leis­tung nen­nt man dann Wirkungs­grad. Dazu kom­men wir später. Wir inter­essieren uns jet­zt erst­mal für die elek­trische Leis­tung:

Elek­trische Leis­tung ist wie wir ja bere­its aus Gle­ichung (1)   wis­sen das Pro­dukt aus Span­nung und Strom, was sich math­e­ma­tisch so aus­drückt:

P = U * I (Gle­ichung (1) )

U – die Span­nung in Volt [ V ]
I – der Strom in Ampere [ A ]
P – die Leis­tung in Watt [ W ]

Wer über eine bes­timmte Zeit etwas leis­tet, ver­richtet Arbeit.

Jedem Pro­peller set­zt die Luft einen Wider­stand ent­ge­gen. Dieser Wider­stand ist zum Beispiel nicht nur von Form und Größe des Pro­pellers abhängig, son­dern auch von der Dichte der Luft genan­nt Luft­druck. Um hier an belast­bare Werte zu kom­men müssten wir für jeden Pro­peller Mess­rei­hen durch­führen.

Es ist nicht nur deshalb schwierig her­auszufind­en wie viel elek­trische Leis­tung nötig ist um eine Motor / Pro­peller Kom­bi­na­tion mit ein­er bes­timmten Drehzahl drehen zu lassen. Dabei spie­len neben dem Luft­druck noch viele andere kom­plizierte Fak­toren eine Rolle, wie zum Beispiel die Anzahl der Rotor­blät­ter, das ver­wen­dete Mate­r­i­al, das aero­dy­namis­che Pro­fil des Blattes (air­foil) und sein Grundriss/Form (plan­form).

Die fol­gende Gle­ichung stammt aus Bob Boucher’s Elec­tric Motor Hand­book und passt ganz gut für Pro­peller mit zwei Blät­tern (Deutsche Büch­er). Es gibt wohl bessere und genauere Gle­ichun­gen, aber die reicht für unsere Zwecke

(20)   \begin{equation*} P  =\(K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot  RPM^3 \)  \end{equation*}

Kp – Pro­pellerkon­stante in … [ … ]

d – Durchmess­er des Pro­pellers in feet [ feet ]
s — Stei­gung des Pro­pellers in feet [ feet ]
RPM – Anzahl der Umdrehun­gen pro Minute [ rpm ]
P – die Leis­tung in Watt [ W ]

Die elek­trische Leis­tung die benötigt wird um den Pro­peller mit ein­er kon­stan­ten Geschwindigkeit zu drehen ist gle­ich der Pro­pellerkon­stante mal dem Durchmess­er d des Pro­pellers (feet) hoch 4 mal der Stei­gung s (in feet) des Pro­pellers mal der Anzahl der Umdrehun­gen (in tausendern) hoch 3.

Die Pro­pellerkon­stante Kp ist vom Her­steller abhängig.

Will man die Formel benutzen ist es erforder­lich den Durchmess­er und die Stei­gung des Pro­pellers in feet einzuset­zen. Die Her­steller geben aber die Maße in inch an. Die Umrech­nung ist aber per Dreisatz ein­fach umzuset­zen:

    \begin{equation*} 1 feet =\( 12 inch \) =\( 30,48 cm\) \label{eq:feet-in-inch-text} \end{equation}

(21)   \begin{equation*} x feet =\(\frac{y inch }{12} \)  \end{equation*}

Beispiel: Durchmess­er des Pro­pellers 6 inch. Das sind dann 6 inch / 12 = 0,5 feet.

Wir müssen also alle Inch-Angaben der Her­steller durch 12 teilen bevor wir sie in Gle­ichung (20) ein­set­zen. Damit ergibt sich, mod­i­fiziert auf Pro­peller­pa­ra­me­ter in inch:

(22)   \begin{equation*} P  =\(K_p \cdot  \left(\frac{d}{12}\right)^4 \cdot \frac{s}{12}  \cdot  RPM^3 \)  \end{equation*}

Wenn wir schon mal dabei sind: Inch ist für mich auch reich­lich abstrakt. Ich kann mir Angaben in Zen­time­tern bess­er vorstellen und nachmessen, also rech­nen wir die Inch noch in Zen­time­ter um:

(23)   \begin{equation*} x cm =\(y inch \cdot \frac{30,48}{12} = y inch \cdot 2,54\)  \end{equation*}

Beispiel: Durchmess­er des Pro­pellers 6 inch. Das sind dann 6 inch *2,54 = 15,24 cm.

Ein paar Dinge kann man an Gle­ichung (20) able­sen:

  • Eine Ver­dop­pelung des Durchmessers, und der Motor benötigt bei gle­ich­er Drehzahl die 2^4 = 16 fache an Leis­tung um ihn in Bewe­gung zu ver­set­zten.
  • Eine Ver­dop­pelung der Drehzahl benötigt die 2^3 = 8 fache Leis­tung.
  • Eine Ver­dop­pelung der Stei­gung benötigt dop­pelt soviel Leis­tung.

Den Strom direkt berech­nen mit Gle­ichung (1) und Gle­ichung (20) :

    \begin{equation*} P =\(U \cdot I \) \label{eq:P=U*I#2} \end{equation}

    \begin{equation*} P  =\(K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot  RPM^3 \) \label{eq:propeller-formel-2} \end{equation}

Durch gle­ich­set­zten ergibt sich:

    \begin{equation*}  \(U \cdot I \) =\(K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot  RPM^3 \) \label{eq:propeller-formel-3} \end{equation}

Nach dem Strom auflösen in dem bei­de Seit­en durch U geteilt wer­den:

    \begin{equation*} I =\( \frac{K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot  RPM^3}{U} \) \label{eq:propeller-formel-3} \end{equation}

durch Ein­set­zen von Gle­ichung (18) :

    \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot U  \) \label{eq:RPM=Kv*U#1} \end{equation}

ergibt sich

    \begin{equation*} I =\( \frac{K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot  \left( K_V \cdot U \right)^3}{U} \) \label{eq:propeller-formel-4} \end{equation}

    \begin{equation*} I =\( \frac{K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot K_V^3 \cdot U^3}{U} \) \label{eq:propeller-formel-5} \end{equation}

(24)   \begin{equation*} I =\( K_p \cdot  d^4 \cdot s  \cdot K_V^3 \cdot U^2 \)  \end{equation*}

Gle­ichung (24) sagt fol­gen­des: Der Strom steigt qua­dratisch zur Ein­gangss­pan­nung, und mit der drit­ten Potenz des Kv Wertes. Das bedeutet der Kv Wert erhöht den Strom beträchtlich. Ein hoher Kv Wert ist deshalb zu ver­mei­den.

Eine mögliche Lösung wäre ein Getriebe einzuset­zen, um einen größeren Pro­peller mit weniger Motor­drehzahl bei gle­ich­er Leis­tung flot­ter zu drehen. Eine 2:1 Über­set­zung würde die Kv hal­bieren. Es spricht aber ne Menge dage­gen Getriebe einzuset­zen.

Mit Gle­ichung (20) und (24) kön­nen wir die Leis­tung berech­nen die eine Motor- / Pro­pellerkom­bi­na­tion liefert:

Vor­gabe­w­erte:
Kv = 650
Kp = 1.11 (willkür­lich gewählt)

Pro­peller / Drehzahl4000 rpm8000 rpm
6×3 Zoll1.11 W8.88 W
10×6 Zoll17.13 W137.04 W

Tabelle 8–2: Benötigte Leistung um unterschiedliche Propeller zu drehen…

Tabelle 2 zeigt uns das mehr Leis­tung benötigt wird um einen größeren Pro­peller zu drehen. Je klein­er der Pro­peller desto weniger Leis­tung wird benötigt. Wir benöti­gen zum Beispiel 17,13 Watt um den großen Pro­peller mit 4000 RPM zu drehen. Diese 17,13 Watt kön­nen wir auf unter­schiedliche Art erzeu­gen, in dem wir beliebig Strom und Span­nung gemäß Gle­ichung (1)   vari­ieren:

    \begin{equation*} P =\(U \cdot I \) \label{eq:P=U*I#3} \end{equation}

17,13 Watt = 1 * 3,7 Volt * 4,63 Ampere = 3,7 Volt * 4,63 Ampere.
17,13 Watt = 2 * 3,7 Volt * 2,34 Ampere = 7,4 Volt * 2,34 Ampere.
17,13 Watt = 3 * 3,7 Volt * 1,16 Ampere = 11,1 Volt * 1,16 Ampere.

Da P kon­stant sein soll, und die Span­nung vorgegeben wird berechne ich den Strom durch Umstel­lung der Gle­ichung (1) :

An diesem Beispiel zeige ich ein­ma­lig, exem­plar­isch und detail­liert wie man generell Gle­ichun­gen umstellt. Wir teilen zunächst bei­de Seit­en der Gle­ichung durch U.

    \begin{equation*} \frac{P}{U} =\(  \frac{U \cdot I}{U}  \) \label{eq:P=U*I#4a} \end{equation}

Auf der recht­en Seite der Gle­ichung kann U gekürzt wer­den.

    \begin{equation*} \frac{P}{U} =\(  I  \) \label{eq:P=U*I#4b} \end{equation}

Anders herum dargestellt:

(25)   \begin{equation*} I =\( \frac{P}{U} \)  \end{equation*}

Leis­tung geteilt durch die Span­nung ergibt den Strom. Für unser Beispiel bedeutet das:

    \begin{equation*} \frac{17,13 Watt}{ 3 Volt} =\(  5,71 Ampere  \) \label{eq:P=U*I#4c} \end{equation}

Unser Motor ver­langt also nach 5,71 Ampere Strom, den die Energiezelle liefern kön­nen muss, und der Motor muss diesen Strom aushal­ten kön­nen ohne zu heiß zu wer­den.

Der Motor macht allerd­ings ein paar Vor­gaben. Wenn wir einen 1000KV Motor zum Beispiel mit 3000 Umdrehun­gen betreiben wollen benöti­gen wir nach Gle­ichung (18)  :

    \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot U  \) \label{eq:RPM=Kv*U#2} \end{equation}

    \begin{equation*} U  =\( \frac{RPM}{K_V}  \) =\( \frac{3000 rpm}{1000 Kv}  \) = 3 Volt  \label{eq:U=RPM/Kv} \end{equation}

Wieder: Das Blöde ist das wir die exak­te Span­nung von 3 Volt nicht bere­it­stellen kön­nen, son­dern nur vielfache der Lipo-Zel­lenspan­nung von 3,7 Volt.

Strahlgeschwindigkeit vs = RPM * Stei­gung s?  Bei Wahl eines kleineren Pro­pellers muss die Drehzahl größer  sein um den sel­ben Schub zu erzeu­gen. Aus der höheren Drehzahl resul­tiert auch eine höhere Strahlgeschwindigkeit.

Weit­er­führende Links:

Propeller, Leistung und Akku

Jet­zt kön­nen wir uns mal anschauen wie lange eine Lipo-Zelle an einem Motor mit ver­schiede­nen Pro­pellern hält. Ver­gle­ichen wir die unter­schiedliche Anzahl von Zellen mit den Laufzeit­en bei ver­schiede­nen Pro­pellern.

Die benötigte Leis­tung errech­net sich aus Gle­ichung (20)  : P = Kp * d^4 * P * RPM^3
RPM berech­net sich aus Gle­ichung (18) : RPM = Kv * U
Der Strom errech­net sich aus der Gle­ichung (25) : I = P/U
Die Laufzeit errech­net sich aus Gle­ichung (4) : t = Q/I = 60 / I

Damit kön­nen wir Tabellen 3 und 4 erstellen:
Vor­gabe­w­erte: Uz = 3,7 V, Kv = 650, Pro­peller: Kp = 1.11, 6x3 inch

ZellenU / VLeis­tung P in WRPM in 1000/minStrom I in ALaufzeit t in min
13.70.242.410.07920.16
27.41.934.810.26230.04
311.16.517.220.59102.24
414.815.449.621.0457.51

Tabelle 8–3: Propeller, Leistung und Akku

Vor­gabe­w­erte: Uz = 3,7 V, Kv = 650, Pro­peller: Kp = 1.11, 10x6 inch

Zellen U / VLeis­tung P in WRPM in 1000/minStrom I in ALaufzeit t in min 
13.73.722.411.0159.63
27.429.794.814.0314.91
311.1100.537.229.066.63
414.8238.289.6216.103.73

Tabelle 8–4: Propeller, Leistung und Akku (2)

Betra­chtet wir die Tabellen 3 und 4  stellen wir fest:

  • Das hinzufü­gen von Zellen ver­ringert die Flugzeit
  • Mit jedem Volt Span­nung erhöht sich auch der Strom, und wir erkaufen uns mehr Leis­tung für einen immer kürz­er wer­den­den Zeitraum

Mehr Realismus im Modell

Wir wer­den unser Motor­mod­ell noch real­is­tis­ch­er gestal­ten und um vier Para­me­ter erweit­ern:

  • Innen­wider­stand (Arma­ture Resis­tance)
  • Leer­lauf­strom (No load cur­rent)
  • Drehzahllim­it (RPM lim­it)
  • Drehmo­ment Lim­it (Torque lim­it)

Innenwiderstand; Das Ohmsche Gesetz

realer Motor und Innenwiderstand

Beim Innwider­stand der Span­nungsquelle sind wir dem ohm­sche Gesetz bere­its begeg­net. Gle­ichung (11) U=R*I besagt umge­formt:

(26)   \begin{equation*} I  =\(\frac{U}{R}\)  \end{equation*}

Damit kön­nen wir unsere Formel von der Leis­tung (1) erweit­ern in dem wir I erset­zen:

(27)   \begin{equation*} P  =\(U \cdot  I \)  =   \(U \cdot  \frac{U}{R}\) = \(\frac{U^2}{R}\)    \end{equation*}

oder in dem wir U erset­zen: U = R * I

(28)   \begin{equation*} P  =\(U \cdot  I \)  =   \(R \cdot  I \cdot  I \) = \( I^2 \cdot  R\)    \end{equation*}

Vorstellen kön­nen wir uns das mit der Analo­gie zu einem Wassereimer den wir uns als Akku denken, der einen Schlauch im Boden hat durch dem das Wass­er (der Strom) her­aus­fließen kann. Erhöhen wir den Wasser­spiegel im Eimer — was ein­er Erhöhung der Span­nung der Bat­terie entspricht, wird das Wass­er mit mehr Druck durch den Schlauch her­aus­fließen. Ver­größern wir den Eimer entspricht das ein­er Erhöhung der Bat­terie-Kapaz­ität. Wenn wir den Durchmess­er des Schlauch­es ver­größern (was ein­er Verkleinerung des Wider­stands entspricht) wird das Wass­er schneller ablaufen. Die Menge des Wassers das in ein­er Sekunde aus dem Eimer her­aus­läuft, entspricht der Leis­tung im elek­trischen Sys­tem.

Ein bre­it­er Eimer mit einem großen Durchmess­er und ein­er dün­nen Leitung würde uns langsam wenig Wass­er geben, während ein schmaler Eimer mit ein­er bre­it­en Leitung uns schnell viel Wass­er geben würde.

Bei­de Möglichkeit­en geben uns die selbe Menge Wass­er in ein­er vorgegebe­nen Zeit. Ähn­lich ver­hält sich das mit der Beziehung zwis­chen Span­nung, Strom und Leis­tung.

Jed­er Motor hat einen elek­trischen Wider­stand, beze­ich­net als Rm. Er arbeit­et gegen die Span­nung die an den Motor angelegt wird, mit dem Effekt das der Kv Wert her­abge­set­zt wird. Gle­ichung  (18)

    \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot U  \) \label{eq:RPM=Kv*U#3} \end{equation}

Wir kön­nen das Ohm­sche Gesetz benutzen um die Ver­luste im Motor zu berech­nen:

(29)   \begin{equation*} U  =\(R_m \cdot  I  \)  \end{equation*}

Je größer der Strom, den der Motor zieht, desto größer der Ver­lust an Span­nung durch den Innen­wider­stand.

    \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot  U_i  \) \label{eq:RPM=Kv*Ui} \end{equation}

    \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot  \left( U - U_{rm} \right)   \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#2} \end{equation}

(30)   \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot  \left( U -  R_m \cdot I \right)   \)  \end{equation*}

Nehmen wir an wir haben einen Motor mit Kv = 1000 und einem Innen­wider­stand von 0.05 Ohm. Wie groß wäre unsere Drehzahl bei 10 Volt und 10 Ampere? Wir benutzen Gle­ichung (30) :

    \begin{equation*} RPM  =\(K_V \cdot  \left( U - R_m  \cdot I\right)   \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#4} \end{equation} \begin{equation*} RPM  =\(1000 \cdot  \left( 10 - 0,05 \cdot 10 \right)   \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#5} \end{equation} \begin{equation*} RPM  =\(1000 \cdot  \left( 10 - 0,5 \right)   \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#6} \end{equation} \begin{equation*} RPM  =\( 9500 \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#7} \end{equation}

Bei 10 Ampere ver­lieren wir 500 rpm! Wenn wir jet­zt einen größeren Pro­peller benutzen, durch den der Motor zum Beispiel 30 Ampere zieht? Wir set­zen die Werte wieder in Gle­ichung (30) ein:

     \begin{equation*} RPM  =\(1000 \cdot \left( 10 - 0,05 \cdot 30 \right)   \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#8} \end{equation} \begin{equation*} RPM  =\( 8500 \) \label{eq:RPM=Kv*Ui#9} \end{equation}

Daran erken­nen wir: Es ist abso­lut notwendig bei hohen Strö­men Motoren mit gerin­gen Innen­wider­stand zu ver­wen­den!

Der Innen­wider­stand ist nicht kon­stant, son­dern er wird mit steigen­der Motortem­per­atur größer. Wir müssen also im Auge behal­ten das die Drehzahl mit der Betrieb­s­dauer sinkt, auch wenn die Span­nung des Akkus exakt gle­ich bliebe — was sie ja auch nicht tut… Bei­des zusam­men sollte man im Auge haben.

Was passiert wenn wir dem Motor einen so großen Wider­stand ent­ge­genset­zen das er sich nicht drehen kann? Der Motor würde ver­suchen den max­i­mal möglichen Strom zu ziehen, da er ja seine Drehzahl erre­ichen will. Wir ver­wen­den Gle­ichung (26) :

    \begin{equation*} I_{max} =\( \frac{U}{R_m} \) = \( \frac{10V}{0,05 \Omega } \) = \( 200A \) \label{eq:Imax=U/Rm} \end{equation}

Die 200 A sind aber nur the­o­retisch, da es keinen Akku gibt der diesen Strom liefern kön­nte. Motor und Akku wären vorher zer­stört.

Mechanische Leistung, Arbeit, Drehmoment

Wenn wir eine schwere Kiste die Treppe ins näch­ste Stock­w­erk hochschlep­pen sollen ver­richt­en wir Arbeit. Um diese mech­a­nis­che Arbeit zu messen kön­nen wir das Gewicht der Kiste mit der Höhe die wir über­winden müssen mul­ti­plizieren.

(31)   \begin{equation*} W  =\(F \cdot  s \)  \end{equation*}

mit

(32)   \begin{equation*} F_g =\(m \cdot  a \)  \end{equation*}

erhal­ten wir fol­gende Gle­ichung für die Hubar­beit:

(33)   \begin{equation*} W =\(m \cdot  g  \cdot  h \)  \end{equation*}

W — die Arbeit in Joule oder New­ton­meter [ Nm ] bzw.  [ kg*m/s^3 ]
F — die Kaft in New­ton [ N ] bzw. [ kg*m/s^2 ]
s, h — der Weg bzw die Höhe in Metern [ m ]
m — die Masse in [ kg ]
a, g — Beschle­u­ni­gung, Erdbeschle­u­ni­gung in Meter pro Sekunde-Quadrat [ m/s2 ] 9,81m/s

Wenn wir eine 10kg schwere Kiste 3 m hoch schlep­pen haben wir 30kg*m Arbeit ver­richtet. Die gle­iche Arbeit ver­richt­en wir auch wenn wir zwei 5 kg schwere Kisten 3m hoch schlep­pen, oder eine Kiste von 20kg 1,5m hoch.

30kg*m arbeit ver­richtet wir wenn wir

eine 10 kg Kiste 3m hochtra­gen
eine 20 kg Kiste 1,5m hochtra­gen
eine 10 kg Kiste 2* 1,5m hochtra­gen

Wenn wir unendlich viel Zeit zur Ver­fü­gung hät­ten kön­nten wir Arbeit ver­richt­en ohne jemals müde zu wer­den, aber lei­der gibt es eine Gren­ze. Wir kön­nen in ein­er bes­timmten Zeit nur eine bes­timmte Arbeit ver­richt­en. Es ist wesentlich härter einen 27km Marathon in ein paar Stun­den zu laufen, als sich ein paar Tage dafür Zeit zu lassen, auch wenn die selbe arbeit ver­richtet wird.

Mech­a­nis­che Leis­tung ist Arbeit, die in ein­er bes­timmten Zeit ver­richtet wird:

(34)   \begin{equation*} P =\( \frac{W}{t} \)  \end{equation*}

P — die Leis­tung in Watt [ W ]
W — die Arbeit in New­ton­Meter oder Joule [ 1J = 1Nm ]
t — die Zeit in Sekun­den [ s ]

Leis­tung gibt es als elek­trische Leis­tung und als mech­a­nis­che Leis­tung. Leis­tung kann jede Art von Leis­tung aus­drück­en. In ein­er ide­alen Welt kann ich ein Watt elek­trische Leis­tung nehmen und sie in exakt ein Watt mech­a­nis­che Leis­tung umset­zen. Das ist genau das wofür Motoren entwick­elt wur­den: Sie sind “Leis­tungskon­vert­er” und über­set­zten elek­trische Leis­tung in mech­a­nis­che Leis­tung.

Die Leis­tung die der Motor abgibt ermöglicht es aber nicht automa­tisch ein Gewicht in das näch­ste Stock­w­erk zu trans­portieren. Die Leis­tung muss noch weit­er umge­wan­delt wer­den. Genau genom­men rotiert der Motor eine Welle: Es ist “Drehleis­tung” (Rota­tion­sen­ergie ?) die in RPM “Umdrehun­gen pro Minute” und Drehmo­ment aus­ge­drückt wird.

WICHTIG! Energie Leis­tung hab ich den Zusam­men­hang schon irgend­wo?

Wenn die Kraft senkrecht am Hebel angreift, kann man für das Drehmo­ment schreiben:

(35)   \begin{equation*} M =\(F \cdot  r  \)  \end{equation*}

M — Drehmo­ment in New­ton­meter [ Nm ]
F — Kraft
r — Abstand von der Drehachse

Jet­zt haben wir schon eine ganze Menge von Leis­tun­gen:

     \begin{equation*} P =\( U \cdot I \) \label{eq:P=U*I#5} \end{equation} \begin{equation*} P =\( \frac{W}{t} \) \label{eq:P=W/t#1} \end{equation} \begin{equation*} P =\(  M \cdot RPM \) \label{eq:P=M*RPM} \end{equation}

P ist also immer eine Art der Arbeit die in ein­er bes­timmten Zeit ver­richtet wird. Wo ver­steckt sich in obi­gen Formeln die Zeit?

  • Elek­trische Leis­tung ist die Möglichkeit elek­trische Arbeit über die Zeit zu ver­richt­en (I enthält die Zeitko­po­nente)
  • Rotations“energie” ist die Möglichkeit Drehar­beit über die Zeit zu ver­richt­en (RPM — “Umdrehun­gen pro Minute” enthält die Zeitkom­po­nente).
  • TODO: Drehmo­ment ist die Kraft… äääh… Ein größer­er Pro­peller erfordert mehr Drehmo­ment als ein klein­er Pro­peller bei ein­er kon­stan­ten Drehzahl.

Drehmoment, Strom, Kt

Wir haben ja schon gel­ernt das die Drehzahl des Motors von der angelegten Span­nung abhängt, was durch den Kv Wert aus­ge­drückt wird. Das Drehmo­ment hängt vom Strom ab (TODO: Wieso, Zusam­men­hang bitte).

Es gibt eine Motorkon­stante die das Drehmo­ment als Funk­tion des Stromes aus­drückt:

Kt — Drehmo­men­tkon­stante, aus­ge­drückt in New­ton­meter pro Amere [ Nm / A ]

Das Pro­dukt aus Kv * Kt ist kon­stant.

Das bedeutet das Drehmo­ment das ein Motor liefert lässt sich durch den Kv Wert des Motors aus­drück­en: Je größer der Kv Wert, desto klein­er das Drehmo­ment pro Ampere. Je klein­er der Kv Wert, desto größer das Drehmo­ment pro Ampere:

großer Kv = kleines Drehmo­ment pro Ampere
klein­er Kv = kleines Drehmo­ment pro Ampere

Es ist unmöglich einen Motor zu bauen der einen hohen Kv wert hat — also eine hohe Drehzahl pro Volt angelegter Span­nung, und ein großes Drehmo­ment pro Ampere Strom liefert. Ein Motor mit einem hohen Kv Wert wird immer eine große Menge  Strom ziehen um seine Drehzahl zu erre­ichen. Ist der Kv Wert niedrig benötigt der Motor ne hohe Span­nung, also viele Lipo-Zellen um seine Drehzahl zu erre­ichen.

Das deckt sich mit unseren bish­eri­gen Erken­nt­nis­sen: Ein Motor mit einem großen Kv Wert zieht viel Strom um einen großen Pro­peller zu drehen. … und das ist so, da so ein Motor eine kleine Drehmo­ment-Kon­stante Kt hat, und somit viel Strom benötigt um ne Menge Drehmo­ment zu erzeu­gen.

Drehmoment Verluste

Auch bei der Über­set­zung von Strom in Drehmo­ment entste­hen Ver­luste im Motor: Diese Ver­luste wer­den als “no-load Strom” Io beze­ich­net.

(36)   \begin{equation*} M  =\(K_t \cdot I_{in} \)  \end{equation*}

(37)   \begin{equation*} M  =\(K_t \cdot  \left( I_{in} - I_o \right)   \)  \end{equation*}

Die Kon­stante Io ist der Strom der gegen den Ein­gangstrom arbeit­et (INDUKTION) ??? Diesen Ver­lust an Drehmo­ment muss man bei der Ausle­gung der Leis­tung auf jeden Fall berück­sichti­gen.

Drehzahlgrenze

Ein Motor hält nur eine bes­timme max­i­male Drehzahl aus, und ein max­i­males Drehmo­ment. Wer­den diese Gren­zen über­schrit­ten zer­stört das den Motor. Durch die auftre­tenden Fliehkräfte bei der Rota­tion zer­legt es den Motor. Ein hochw­er­tiger Motor mag 40 — 60.000 RPM aushal­ten, ein ein­fach­er so um die 30.000 RPM. Brush­less-Motoren wer­den gerne am Drehzahl Lim­it betrieben, da sie dort am effizien­testen arbeit­en.

Drehmomentgrenze (torque limit)

Die Drehmo­ment­gren­ze beschreibt die Fähigkeit des Motors Hitze wider­ste­hen. Wir erin­nern uns daran das für das Drehmo­ment Strom benötigt wird. Durch den Strom­fluß wird im Motor Wärme erzeugt. Die Hitze kann mit zunehmender Betrieb­s­dauer so groß wer­den das der Motor beschädigt wird. Viele Her­steller geben ein Drehzahlim­it an, das dem Motor erlaubt einen typ­is­chen R/C Flug von weni­gen Minuten zu über­leben. Es ist möglich den Motor für kurze Zeit über diesem Lim­it zu betreiben. Oft wer­den auch zwei Lim­its angegeben. Eines das für kurze Zeit gilt, und ein Langzeitlim­it das einen sicheren Betrieb für die gesamte Flugzeit zusichert.

Bei Her­stellern die keine Drehzahl- oder Drehmo­mentlim­its angeben sollte man vor­sichtig sein. Diese Info ist nicht weniger wichtig als der Innen­wider­stand und der Kv Wert.

Ausgangsleistung

Da wir jet­zt über alle Gren­zen und Ver­luste Bescheid wis­sen kön­nen wir mal schauen wieviel Leis­tung unser Motor pro­duzieren kann wenn wir ihn an einen realen leis­tungs­fähi­gen Akku anschließen.

Für einen ide­alen Motor gilt ja gemäß Gle­ichung (1)  :

    \begin{equation*} P =\(U \cdot I \) \label{eq:P=U*I#6} \end{equation}

Für ein reales Mod­ell müssen wir Ein­gang- und Aus­gangsleis­tung sep­a­rat betra­cht­en. Die Ein­gangsleis­tung ist die gle­iche wie bei der ide­alen Betra­ch­tung: Es ist die Span­nung und der Strom aus der Bat­terie. (TODO: Warum nicht das reale Mod­ell der Stromquelle?)

Die Aus­gangsleis­tung muss die Ver­luste im Motor berück­sichti­gen:

(38)   \begin{equation*} U_{eff} =\(U - U_{lost} \)  \end{equation*}

(39)   \begin{equation*} I_{eff} =\(I - I_{lost} \)  = \(I - I_0 \)     \end{equation*}

(40)   \begin{equation*} P_{out} =\( \left( U - U_{lost} \right)  \)  \cdot \( \left(I - I_0 \right) \)     \end{equation*}

mit Ulost = I * Rm (Rm wird hier als Kon­stant angenom­men was er nicht ist.)

(41)   \begin{equation*} P_{out} =\( \left( U - I \cdot R_m \right)  \)  \cdot \( \left(I - I_0 \right) \)     \end{equation*}

Bei Über­schre­itung der Gren­zen kön­nen wir schreiben:

(42)   \begin{equation*} P_{out} = 0 \)     \end{equation*}

Was soviel bedeutet wie: Der Motor ist kaputt und pro­duziert niemals mehr eine Aus­gangsleis­tung.

Wirkungsgrad

Der Wirkungs­grad ist ein­fach zu berech­nen. Er ist ein­fach das Ver­hält­nis von Ein­gangsleis­tung zu Aus­gangsleis­tung:

(43)   \begin{equation*} \mu = \frac{P_{out}}{{P_{in}}}  \)     \end{equation*}

Der Wirkungs­grad wird oft in Prozent angegeben. Dazu müssen wir ihn noch mit 100 mul­ti­plizieren.

Beispielrechnung mit einem realen Motor

Motor: A30-18L-UAV

Kv: 680 RPM/volt
Kt: —
Innen­wider­stand Rm: .005 Ohms
Leer­lauf­strom Io: 1.0A (an 8.7 Volt)
RPM lim­it: 15.000 rpm
Torque lim­it: — indef­i­nite / — short peri­ods

Wir berech­nen die Leis­tung bei ein­er Ein­gangspan­nung von 10 Volt und einem Ein­gangsstrom von 10 Ampere:

Pin = U * I = 10 V * 10 A = 100 W

Pout = (V — Iin * Rm) * (In — Io)
Pout = (10 — 10 * 0.05) * (10 — 1.0)
Pout = (10 — 0.5) * 9
Pout = 9.5 * 8.4
Pout = 85.5 W

y = Pout / Pin
y = 85.5 / 100
y = 0.855 = 0.885*100 % = 88,5%

Wir sagen vorher das der Motor an 10V und 10A 85.5 Watt Aus­gangsleis­tung liefert.

Verän­dern wir mal die 100 Watt Ein­gangsleis­tung. Wie Effizient ist der Motor an 5 Volt und 20 Ampere:

Pin = U * I = 5 V x 20 A = 100 W

Pout = (V — I * Rm) * (I — Io)
Pout = (5 — 20 * 0.05) * (20 — 1.0)
Pout = (5 — 1) * 19
Pout = 4 * 19
Pout = 76 W

y = 76 W / 100 W * 100 = 76 %

Der Wirkungs­grad ist schlechter gewor­den. Jet­zt kön­nte ich weit­ere Berech­nun­gen anstellen, unter der Berück­sich­ti­gung das die Lim­its für Drehzahl und Drehmo­ment nicht über­schrit­ten wer­den… TODO

Die Span­nung bei der die max­i­male Drehzahl über­schrit­ten wird berech­nen wir mit:

rpm = Kv * U
U = rpm / Kv = 15000 rpm / (680 rpm/V) = 22,06 Volt

TODO: Das Lim­it für das Drehmo­ment kön­nen wir nicht bes­tim­men?

Maximaler Wirkungsgrad

Tra­gen wir mal die Berech­nung für ver­schiedene Ein­gangss­pan­nun­gen bei kon­stan­tem Ein­gangsstrom auf:

Ein­gangs Span­nungEin­gangs stromEin­gang leis­tungAus­gangs leis­tungWirkungs grad
U / VI / AP / WP / WY / %
6201209579%
82016013383%
102020017186%
122024020987%
142028024788%
162032028589%
182036032390%
202040036190%

Tabelle 8–5: Eingangsspannung und Wirkungsgrad

Die Tabelle zeigt wie der Wirkungs­grad mit dem Anstieg der Ein­gangss­pan­nung steigt. Das Mod­ell sagt vorher das mit ein­er Erhöhung der Ein­gangss­pan­nung immer ein Anstieg des Wirkungs­grades ein­herge­ht… bis zu dem Punkt wo wir das RPM Lim­it berühren. Ein Blick auf die Formel für die Leis­tung am Aus­gang zeigt warum:

Pout = (U — I * Rm) * (I — Io)

Je Höher die Ein­gangss­pan­nung, desto weniger wirken sich die Ver­luste aus. Das ist ne gute Nachricht.

Beim Ein­gangsstrom sieht das anders aus, denn der Ein­gangsstrom I wird ein­er­seits mit dem Innen­wider­stand Rm mul­ti­pliziert, was let­ztlich die vom Motor ver­w­ert­bare Span­nung min­dert und damit die Drehzahl. Je höher der Ein­gangsstrom, desto größer der Ver­lust an effek­tiv ver­w­ert­bar­er Span­nung, und damit auch der Ver­lust an Drehzahl.

Ausser­dem wird vom Ein­gangsstrom der (kon­stant angenommene) Leer­lauf­strom abge­zo­gen, so das der effek­tiv vom Motor nur die Dif­ferenz zur Erzeu­gung von Drehmo­ment zur Ver­fü­gung ste­ht. Mit steigen­dem Ein­gangsstrom wirken sich die Drehmo­mentver­luste aber immer weniger aus.

Eine Erhöhung des Ein­gangsstromes bewirkt also eine Erhöhung der Drehzahlver­luste, und eine Ver­min­derung der Drehmo­mentver­luste.

An dem Punkt an dem diese bei­den Ver­luste gle­ich groß sind arbeit­et der Motor mit der größten Effizienz (Wirkungs­grad).

Ein­gangs Span­nungEin­gangs stromEin­gangs leis­tungAus­gangs leis­tungWirkungs grad
U / VI / AP / WP / WY / %
102209.950%
1044029.474%
1088067.284%
102020017186%
1022220186.985%
1024240202.484.33%
1026260217.583.65%
1028280232.282.93%
1030300246.582.17%

Tabelle 8–6: Eingangsspannung und Wirkungsgrad (2)

Zunächst wird der Wirkungs­grad mit steigen­dem Strom größer, ab unge­fähr 22 Ampere wird der Wirkungs­grad mit steigen­dem Strom klein­er. Wir betra­cht­en das mal etwas genauer.

Spalte [1]: Ein­gangss­pan­nung Uin / V
Spalte [2]: Ein­gangsstrom Iin / A
Spalte [3]: Ein­gangsleis­tung P / W
Spalte [4]: Effek­tive Aus­gangss­pan­nung Uout eff / V
Spalte [5]: U eff = Uout / Uin
Spalte [6]: Ieff Ein­gangsstrom I out eff / A
Spalte [7]: I eff = Iout / Iin
Spalte [8]: Aus­gangsleis­tung Pout / W
Spalte [9]: Effek­tiv­er Wirkungs­grad

Spalte 5 zeigt das Ver­hält­nis der effek­tiv zur Ver­fü­gung ste­hen­den Span­nung zur Ein­gangss­pan­nung auf. Bei steigen­dem Ein­gangsstrom sinkt die effek­tiv zur Ver­fü­gung ste­hende Span­nung, weil die Span­nungsver­luste steigen, und damit auch der Drehzahlver­lust.

Spalte 7 zeigt das Ver­hält­nis des effek­tiv zur Ver­fü­gung ste­hen­den Stroms zum Ein­gangsstrom an. Bei steigen­dem Ein­gangsstrom steigt der effek­tiv zur Ver­fü­gung ste­hende Strom, und damit verbessert sich das Drehmo­ment.

Der Punkt an dem die Ver­luste (Ueff und Ieef) gle­ich sind ist der Punkt an dem der Wirkungs­grad am größten ist. Der Punkt liegt zwis­chen 20 und 22 Ampere.

[1][2][3][4][5][6][7][8][9]
102209.999.0%150.0%9.949.5%
104409.898.0%375.0%29.473.5%
108809.696.0%787.5%67.284.0%
1020200990.0%1995.0%17185.5%
10222208.989.0%2195.5%186.985.0%
10242408.888.0%2395.8%202.484.3%
10262608.787.0%2596.2%217.583.7%
10282808.686.0%2796.4%232.282.9%
10303008.585.0%2996.7%246.582.2%

Tabelle 8–7: Eingangsspannung und Wirkungsgrad (3)

Maximale Leistung

Wenn wir den Strom über diesen Punkt des max­i­malen Wirkungs­grades erhöhen reduzieren wir den Wirkungs­grad. Die nicht in Drehmo­ment und Drehzahl umge­set­zte Leis­tung wird vom Motor in Wärme umge­wan­delt. Über dem Punkt pro­duziert der Motor mehr Wärme als Drehzahl. Damit ist dieser Punkt auch der Punkt der max­i­males Leis­tung. Es macht keinen Sinn einem Motor jen­seits dieser Gren­ze zu betreiben, denn mit jedem Ampere Ein­gangsstrom wird weniger Leis­tung an der Welle und mehr Wärme erzeugt.

Der Steller / Regler

Der Regler sitzt zwis­chen Akku und Motor. Er macht aus dem Gle­ich­strom des Lipo Akkus ein rotieren­des Drehfeld damit unsere Brush­less Motoren über­haupt laufen kön­nen.

Beim Regler gibt es immer drei Para­me­ter:

  • kurzzeit­ige, max­i­male Strom­stärke: Die max­i­male Strom­stärke die der Regler ver­ar­beit­en kann darf nicht über­schrit­ten wer­den, son­st ver­bren­nt der Regler.
  • mit­tlere, durch­schnit­tliche Strom­stärke: Die durch­schnit­tliche Strom­stärke die der Regler ver­ar­beit­en kann darf nicht über­schrit­ten wer­den son­st wird der Regler warm, dann heiss, und zulet­zt ver­bren­nt er.
  • Betrieb­ss­pan­nung: Der Regler kann nur einen bes­timmten Betrieb­ss­pan­nungs­bere­ich arbeit­en: Wenn man einen 7,2V Regler an 24V betreibt geht das auch nicht gut.

Um die Sache noch weit­er zu kom­plizieren kann es sein dass für den Regler bei höher­er Span­nung niedrigere Strom­stärken gel­ten.

Ein schlecht dimen­sion­iert­er Regler schal­tet ab, oder ver­bren­nt.
Der Regler solle gut gekühlt wer­den. Wir kön­nten die Regler senkrecht im Luft­strom der Pro­peller anbrin­gen.

Für die Auswahl der Regler gibt es eine Faust­formel: Der Regler sollte 20% mehr A haben als der Motor.

Ist der Regler zu Leis­tungss­chwach (wenig Watt) und kann den Stromhunger des Motors nicht bedi­enen, ver­bren­nt der Regler! Kann man nicht oft genug sagen

TODO: GETRIEBE !!!!

Warum Regler über­las­ten, welchen Ein­fluss die Kabel­län­gen haben ste­ht in diesem PDF:
www.s4a.ch/eflight/reglerleistung.pdf
www.s4a.ch/eflight/

Viele Regler kön­nen mit einem neuen mul­ti­copter­tauglichen Betrieb­sys­tem (simonK Firmware) verse­hen wer­den. Wie das geht, und warum man das machen kann ste­ht hier, und hier. Wer traut sich?

Der Einfluss von Leitungen und Steckverbindern

Leitungslän­gen soll­ten nicht zu groß sein, die Quer­schnitte aus­re­ichend dimen­sion­iert. Steck­verbinder sind Schwach­stellen da sie sich lösen kön­nen, und sind zusät­zliche Über­gan­swider­stände. Kupfer hat Gewicht!

Zur Dimen­sion­ierung kann man mit ein­er Faus­tregel arbeit­en: Leitun­gen dür­fen mit ca. 12 Ampere pro Quadrat­mil­lime­ter Quer­schnitts­fläche belastet wer­den. Der erforder­liche Leitungs­quer­schnitt errech­net sich also:

q = I * 1 mm²/ 12 A
q — Leitungs­quer­schnitt in Quadrat­mil­lime­tern [mm2]
I — Strom in Ampere [A]

Beispiel: Wir erwarten einen Strom von 20 Ampere:

q = 20 A * 1 mm² / 12 A = 1,67 mm²

Den zu ver­wen­den­den Leitungs­quer­schnitt haben wir mit 1,67 mm² berech­net. Leitun­gen gibt es aber nur in abgestuften Größen. Der nächst größere erhältliche Quer­schnitt ist 2,0 mm², und den wür­den wir ver­wen­den wollen.

Für die Zuleitun­gen müssen wir max­i­mal mit 6 X 20A = 120A rech­nen:

q = 120 A * 1 mm² / 12 A = 10 mm²

Da wir zwei Akkus betreiben verteilt sich der Strom auf zwei Zuleitun­gen:

q =  10 mm² / 2 = 5,0 mm²

Ver­wen­den wer­den wir 4,0 mm² da der Spitzen­wert wohl nicht dauernd erre­icht wird. Wir hof­fen das die Leitun­gen nicht zu warm wer­den.

Zusät­zlich ist es rat­sam eine 2/3 Reserve einzubauen. Wenn wir also einen Strom von 20 Ampere erwarten soll­ten wir die Leitung für 20*3/2 = 30 Ampere ausle­gen. Der zu ver­wen­dende Leitungs­quer­schnitt wäre dann q = 30 A / 12 = 2,5 mm²

Für die Zuleitun­gen vom Lipo ergibt sich mit der Reserve:

q = 120 A *3/2 * 1 mm² / 12 A = 15 mm² verteilt auf zwei Zuleitun­gen = 15 mm² / 2 = 7,5 mm²

Die Frage mit wie viel Strom wir einen bes­timmten Leitungs­quer­schnitt belas­ten dür­fen lässt sich durch ein­fache  Umstel­lung der Gle­ichung auch beant­worten:

I = 12A * q / 1 mm²

Beispiel: Wir haben eine Leitung mit 4,0 mm² Quer­schnitt. Wie groß ist der Strom der max­i­mal hin­durch­fließen darf:

I = 12 A * 4,0 mm² / 1 mm² = 48 A

Wir dür­fen den Quer­schnitt mit 48 A belas­ten. Auch hier kön­nen wir die 2/3 Reserve berück­sichti­gen:

I = 12 A*2 * 4,0 mm² / 3 / 1 mm² = 32 A

Wir dür­fen die Leitung dann nur mit max­i­mal 32 A belas­ten.

Drehzahl im Flug, und Besonderheit der Y6 Motoranordnung

Wenn unser Mul­ti­copter fliegt strömt alleine durch die Bewe­gung des Copters Luft mit der Fluggeschwindigkeit die natür­lich auch den Pro­peller umströmt was zur Ent­las­tung des Pro­pellers und damit zu ein­er Drehzahler­höhung des Motors führt. Man spricht von ein­er Drehzahlzu­nahme zwis­chen 10 und 30% je nach Motor und Stei­gungs-Durchmesserver­hält­nis des Pro­pellers. Wir bauen ja einen Y6 Copter, das bedeutet das wir jew­eils zwei Motoren in Serie übere­inan­der schal­ten. Hier erzeugt der obere Motor einen zusät­zlichen Luft­strom, der auf den unteren Motor ent­las­tend wirkt. Das bedeutet bei gle­ichem Motor und Pro­peller­durchmess­er kön­nte man den oberen Antrieb als Vorstufe beze­ich­nen. Das soll­ten wir bei der Ausle­gung des Antriebes berück­sichti­gen.

TODO: stim­men die Schlüsse?

Wir kön­nen den unteren Antrieb anpassen. Da der untere Pro­peller ent­lastet wird müssen wir ihm entwed­er mehr zu tun geben (größer­er Blattdurchmess­er, mehr Blät­ter, oder größere Stei­gung), oder klein­er (weniger Kv) wählen.

Wir kön­nen den oberen Antrieb anpassen. (…)

  • Der obere Antrieb erhält Pro­peller mit kleiner­er Blattstei­gung (oder weniger Blät­tern? als der untere Antrieb) und/oder Motoren mit niedriger­er Kv.
  • Der untere Antrieb ist die Leis­tungsstufe und erhält Pro­peller mit größer­er Blattstei­gung (oder mit mehr Blät­tern als der obere Antrieb), und/oder Motoren mit höher­er Kv.

Abschlussbetrachtung: Genauigkeit unseres Modells

Grau ist alle The­o­rie. Solche Rech­nun­gen sind immer nur ein Mod­ell, eine unge­naue Näherung an die Real­ität. Alle Ein­flussgrössen zu berück­sichti­gen ist (fast) unmöglich, bzw. wird immer Aufwändi­ger je näher man der Real­ität kom­men will. Man kann aber trotz aller  Unge­nauigkeit und Unvoll­ständigkeit einige grund­sät­zliche Dinge an den vere­in­facht­en Berech­nun­gen able­sen. Es ist immer clever — eigentlich sog­ar zwin­gend notwendig — all die berech­neten Werte,   die ja die Grund­lage zur Ausle­gung der Flug­gerätes sind, in der Real­ität durch Mes­sun­gen zu über­prüfen und ggfs. Anpas­sun­gen vorzunehmen.

Berechnung unseres Multicopters

Aus­ge­hend vom angestrebten Gewicht der Copters wählen wir zunächst die Motoren aus, und bes­tim­men dann die Pro­peller dazu. Danach leg­en wir passend zum Strombe­darf des Motors die Akkus fest. Der Strom bes­timmt abschließend auch den Regler.

Wir bauen einen Y6-Mul­ti­copter. Das Gewicht soll 4500g  betra­gen (mit Kam­era und Gim­bal, oder fpv-Aus­rüs­tung, und/oder Lich­torgel ) usw, aber die 5kg Marke nicht über­schre­it­en. Wir rech­nen mal mit bei­den Werten.

Das bedeutet das Gewicht teilt sich für jeden Antrieb durch 6. Das macht für jeden Antrieb 4500g/6 = 750g bzw. 5000g/6 = 834  Gramm die zu bewe­gen sind.

Damit ein Mul­ti­copter schwebt geht man über­schlagsmäßig von 160 bis 200 Watt Leis­tung pro Kilo­gramm Gewicht aus. Schweben sollte er bei unge­fähr 50% Schub. Der Schwebeschub entspricht dem Gewicht des Mod­ells, der Max­i­malschub sollte min­destens dem dop­pel­ten des Gewichts entsprechen, in unserem Fall also ca 2*3500g = 7000g, bzw. 2*5000g = 10000g.

Also set­zen wir für den max­i­malen Schub das dop­pelte an und rech­nen mit ein­er max­i­malen Leis­tung von 320 — 400 Watt pro Kilo­gramm. Für einen 1 kg Y6-Mul­ti­copter wären also 6 Motoren mit je max­i­mal ca 66,67 W passend, also 66,67 Watt max­i­maler Leis­tung pro Motor pro Kilo­gramm.

Zur Dimen­sion­ierung unseres Antriebs set­zen wir also 66,67 W/kg an.

Unser Copter soll 4,5 bis 5 kg wiegen. Wir benöti­gen also 6 Motoren mit

  • 4,5kg * 66,7W/kg = 233 W
  • 5kg * 66,7W/kg =  333,35 W

TODO: Jet­zt müssen wir noch die Ver­luste durch die koax­i­ale Anord­nung der Motoren berück­sichti­gen…

P = U * I
Leis­tung = Akkus­pan­nung * max­i­maler Strom des Motors

TODO Leistungsgewicht

Das Leis­tungs­gewicht ist  das Ver­hält­nis aus Masse und Leis­tung m/P in  [kg/W]

Gle­ichung  (32)  kön­nen wir umstellen nach der Beschle­u­ni­gung:

(44)   \begin{equation*} a = \( \frac{F}{m}  \)   \end{equation*}

Daraus erken­nen wir das sich die Fähigkeit zur Beschle­u­ni­gen aus dem Ver­hält­nis von Schub zu Gewicht ergibt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Leistungsgewicht

TODO: wo ordne ich das ein?

Das Ver­hält­nis sollte min­destens 2:1 sein. Für einen agilen Acro Copter kann der Max­i­malschub im Ver­hält­nis zum Gewicht  3:1 oder größer sein. Ein 8″ Kopter sollte ca. 400g  mit Akku wiegen (ohne FPV und so), ein 10″ 600–700g. Außer­dem sollte man ein Schub-Gewichtsver­hält­nis von 4:1 anstreben. Mit ca. 100 Watt Max­i­malleis­tung pro Motor pro Kilo­gramm Coptergewicht sollte es hinkom­men.”

TODO Gewichtsverhältnis UAV / Akku & Flugzeit

Das ist  eine Dau­men­regel aus dem Netz, basierend auf Erfahrung­w­erten: Das Gewichtsver­hält­nis zwis­chen Copter und Akku im Hin­blick auf die Flugzeit. Beispiel:

UAV (ohne Akku): 1600 g, Akku: 530kg => Ver­hält­nis: 1600/530 = 3,02. Das Opti­mum an Flugzeit erre­icht man bei über 50% Akkugewicht?  Ob diese Angabe brauch­bar bzw. sin­nvoll ist muss sich noch erweisen

Fazit

Mir sind jet­zt die Zusam­men­hänge klar­er — glaube ich zumin­destens, aber wie ich die einzel­nen Facetten zur Ausle­gung des Stromkreis­laufs zusam­men­fü­gen darf ist mir noch nicht ganz klar. Ich brings noch nicht zusam­men. Vielle­icht kannst Du mir auf die Sprünge helfen? Wir haben jet­zt zumin­destens ne gute Grund­lage um mit DEM Rech­n­er für Mul­ti­copter eine Berech­nung anzustellen. Weit­er geht es also mit  eCalc...

Wir wün­schen dir viel Spaß beim Entwurf deines Copters und hof­fen das dieses Skript dir dabei helfen kon­nte — Carsten & Max­i­m­il­ian

War der Artikel hilfreich?
0 von 0 fanden den Artikel hilfreich.
Ansichten: 158
Vorheriger Artikel: Multicopter Flightboard
Nächster Artikel: Antriebs Kalkulation mit eCalc